Halvsirkel og firkant

01/06-2011 21:37

Nå som jeg er ferdig med R1 og R2 kan jeg jo begi meg ut på en luring til ^^

Vi har en innskrevet halvsirkel som på bildet. Hvilken høyde må linja ha for å minimere arealet?

Bilde

Thales · 02/06-2011 13:28

Dette blir ganske stygt, men gå rett på sak:

Definerer først et par punkter og lengder.

Alle vinkler er i radianer.

Radius til sirkelen er [tex]r[/tex], og høyden [tex]h[/tex].
Videre så setter vi:

[tex]S[/tex] sentrum til (halv)sirkelen, og [tex]R[/tex] hjørnet nede til høyre i firkanten. Da har vi [tex]SR = r[/tex].
Videre defineres [tex]I[/tex] som høyre skjæringspunktet mellom den rosa linje og halvsirkelen, og [tex]H[/tex] som punktet på [tex](SR)[/tex], der normalen til [tex]SR[/tex] går gjennom [tex]I[/tex]. Da er [tex]HI=h[/tex].
Vi setter også [tex]I^{\prime}[/tex] som venstre skjæringspunktet mellom den rosa linje og halvsirkelen, og [tex]H^{\prime}[/tex] som punktet på [tex](SR)[/tex], der normalen til [tex](SR)[/tex] går gjennom [tex]I^{\prime}[/tex]. Da er [tex]H^{\prime}I^{\prime}=h[/tex].
Vi setter [tex]J[/tex] som høyre skjæringspunkt mellom rosa linje og firkant.
Vi setter [tex]l=SI=S^{\prime}I[/tex]
Vi setter [tex]\alpha=\widehat{ISR}=arcsin\left(\frac{h}{r}\right)[/tex]
[tex]A_H[/tex] = Areal av halvsirkelen.
[tex]A_G[/tex] = Areal av øverste gule område.
[tex]A_g[/tex] = Areal av en av de gule sideområdene.
[tex]A[/tex] = Areal av hele det gule området.
[tex]A_F[/tex] = Areal av firkanten [tex]H^{\prime}HII^{\prime}[/tex].
[tex]A_f[/tex] = Areal av firkanten [tex]HRJI[/tex].
[tex]A_T[/tex] = Areal av trekanten [tex]SHI[/tex].
[tex]A_S[/tex] = Areal av sirkelsektor [tex]SRI[/tex].

Likheter:

[tex]l = SH = \sqrt{r^2-h^2}\\HR = r-l\\A_g=A_f+A_T-A_S\\A_G=A_H-A_F-2(A_S-A_T)[/tex]

La oss starte å regne:

[tex]A_T = \frac{h\cdot l}{2}\\A_f=(r-l)\cdot h\\A_S=\frac{\pi r^2\alpha}{2\pi} = \frac{r^2\alpha}{2}\\ \Rightarrow A_g=\frac{2hr-2hl+hl-r^2\alpha}{2} \Leftrightarrow 2\cdot A_g=\underline{2hr-hl-r^2\alpha}\\A_S-A_T=\frac{r^2\alpha-hl}{2} \Leftrightarrow 2(A_S-A_T)= \underline{r^2\alpha-hl}\\A_H-A_F = \frac{\pi r^2}{2}-2lh = \underline{\frac{\pi r^2 - 4lh}{2}}\\A=A_G+2A_g = \left(\frac{\pi r^2 - 4lh}{2}\right)-(r^2\alpha-hl)+(2hr-hl-r^2\alpha)\\A=\frac{\pi r^2 - 4lh}{2}+\frac{-4r^2\alpha+4hr}{2}=\frac{- 4lh+r^2(\pi-4\alpha)+4hr}{2}=2h(r-l)+\frac{1}{2}r^2(\pi-4\alpha)\\A=2h(r-\sqrt{r^2-h^2})+\frac{1}{2}r^2 \left(\pi-4arcsin\left(\frac{h}{r}\right)\right)[/tex]

Hard nøtt å knekke. Når det gjelder minste areal, så skal jeg se om jeg gidder å derivere det der litt senere ^^

EDIT 2: La merke til at uttrykket jeg kommer til stemmer bare for r=1, men ikke for vilkårlig r.
EDIT:
Setter r=1. Da blir det litt enklere:

[tex]A_T=2h(1-\sqrt{1-h^2})+\frac{1}{2}(\pi-4 arcsin(h))\\{A_T}^{\prime}=\frac{4h^2+2(1-sqrt(1-h^2))\cdot(2\sqrt{1-h^2})-4}{2\sqrt{1-h^2}}\\{A_T}^{\prime}=0 \Leftrightarrow \frac{4h^2+2\left(1-sqrt(1-h^2)\right)\cdot\left(2\sqrt{1-h^2}\right)-4}{2\sqrt{1-h^2}}=0\\4h^2+4\left(1-sqrt(1-h^2)\right)\cdot\left(\sqrt{1-h^2}\right)-4=0\\h^2+\left(\sqrt{1-h^2}-\left(1-h^2\right)\right)-1=0\\h^2+\sqrt{1-h^2}-1+h^2-1=0\\ \sqrt{1-h^2}=2-2h^2 \\ 1-h^2=(2-2h^2)^2\\ 1-h^2=4+4h^4-8h^2\\ 4h^4-7h^2+3=0[/tex]
Setter [tex]u=h^2[/tex], og løser.
[tex]u=\frac{7\pm1}{8}\Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \vee \ h = 1[/tex]

[tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] er også en løsning, men h>0.
h=1 er ikke en løsning(vet ikke hvordan begrunne det, men dere kan sjekke grafen til A') altså er [tex]h = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Da får vi som følgende at arealet er minst for r=1 når [tex]h = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

Thales · 02/06-2011 15:07

Legger til at når [tex]h=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] og r=1 er [tex]\alpha=\frac{\pi}{3}[/tex]
Da er A:

[tex]A = 2h(r-\sqrt(r^2-h^2))+\frac{1}{2}(\pi-4\alpha)\\A = \sqrt{3}r\left(r-\sqrt(r^2-\frac{3}{4}r^2\right)+\frac{1}{2}\left(\pi-4\frac{\pi}{3}\right)\\A = \sqrt{3}r^2-\sqrt{3}r\sqrt{\left(\frac{1}{4}r^2\right)}+\frac{1}{2}\left(\frac{-\pi}{3}\right)\\A = \sqrt{3}r^2-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}r^2-\frac{\pi}{6}\\A = \frac{\sqrt{3}}{2}r^2-\frac{\pi}{6}\\ \Rightarrow A = \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}[/tex]

02/06-2011 15:40

Selvsagt helt riktig, dog litt tungvindt. Ser at jeg glemmte å opplyse om at [tex]r=1[/tex]

Selv så så jeg at figuren var symmetrisk om midten, og fokuserte dermed bare på høyre side.

La jeg S av sirkelen i origo, og brukte litt integralregning for å summere sammen arealene.

Fikk ett uttrykk for arealet som ikke så så altfor galt ut, deriverte og fant ut at [tex]h=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Men finnes sikkert flere måter å løse denne på =)

Thales · 02/06-2011 15:50

Nebuchadnezzar skrev:Selvsagt helt riktig, dog litt tungvindt. Ser at jeg glemmte å opplyse om at [tex]r=1[/tex]

Selv så så jeg at figuren var symmetrisk om midten, og fokuserte dermed bare på høyre side.

La jeg S av sirkelen i origo, og brukte litt integralregning for å summere sammen arealene.

Fikk ett uttrykk for arealet som ikke så så altfor galt ut, deriverte og fant ut at [tex]h=\sqrt{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Men finnes sikkert flere måter å løse denne på =)

Ja, la nettop merke til at derivasjonen bare virker for r=1, hvis man skal derivere med vilkårlig r, så blir det alt for komplisert for meg i hvert fall!!