[tex]a,b,c[/tex] er reelle tall.
Vis at [tex]\frac{(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)}[/tex] er et heltall når [tex]a^2+b^2=2c^2[/tex] og ingen fakorene i nevneren er 0 (dvs [tex]a\not= b, c\not=-a,-b[/tex])
Morsom Algebra
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Og ikke bare det, det er alltid et primtall også!
La [tex]x=\frac{a+b}{\sqrt2}[/tex] slik at [tex]a+b+2c=\sqrt2(x+\sqrt2c)[/tex]. Dessuten er [tex]x^2=\frac12(a+b)^2=ab+c^2[/tex] slik at [tex](a+b)(b+c)=ab+c^2+c(a+b)=x^2+\sqrt2cx=x(x+\sqrt2c)[/tex].
Samla gir dette [tex]S=\frac{(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)} = \frac{\sqrt2(x+\sqrt2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)x(x+\sqrt2c)}[/tex] som kan forkortes.
Bruker vi så relasjonen til å eliminere [tex]c[/tex] og i tillegg at [tex](a-b)x=\frac1{\sqrt2}(a^2-b^2)[/tex] får vi [tex]\frac{2(2a^2-b^2-\frac{a^2+b^2}2)}{a^2-b^2} = \frac{4a^2-2b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{3(a^2-b^2)}{a^2-b^2} = 3[/tex], og uttrykket er altså konstant.
Dette kan også vises direkte uten å innføre størrelsen x, men her har den en geometrisk tolkning når a, b og c er positive: Tegn en rettvinkla trekant med kateter a og b og la hypotenusen ha lengde sqrt(2)c slik at relasjonen som er gitt gjelder. La så denne hypotenusen også være hypotenus i en rettvinkla likebeint trekant utafor den første. Katetene her har da lengde c.
Vi har nå en firkant med sidelengder a, b, c og c. Firkanten er også syklisk siden to motstående vinkler hver er 90 grader. Ptolemaios teorem gir da uttrykket over for den ukjente diagonalen x.
Jeg klarer ikke bruke dette til å gi et elegant geometrisk resonnement for at S er konstant, så her er det fritt fram. Omkretsen til firkanten, a+b+2c, finner vi også igjen i S.
La [tex]x=\frac{a+b}{\sqrt2}[/tex] slik at [tex]a+b+2c=\sqrt2(x+\sqrt2c)[/tex]. Dessuten er [tex]x^2=\frac12(a+b)^2=ab+c^2[/tex] slik at [tex](a+b)(b+c)=ab+c^2+c(a+b)=x^2+\sqrt2cx=x(x+\sqrt2c)[/tex].
Samla gir dette [tex]S=\frac{(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)} = \frac{\sqrt2(x+\sqrt2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)x(x+\sqrt2c)}[/tex] som kan forkortes.
Bruker vi så relasjonen til å eliminere [tex]c[/tex] og i tillegg at [tex](a-b)x=\frac1{\sqrt2}(a^2-b^2)[/tex] får vi [tex]\frac{2(2a^2-b^2-\frac{a^2+b^2}2)}{a^2-b^2} = \frac{4a^2-2b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{3(a^2-b^2)}{a^2-b^2} = 3[/tex], og uttrykket er altså konstant.
Dette kan også vises direkte uten å innføre størrelsen x, men her har den en geometrisk tolkning når a, b og c er positive: Tegn en rettvinkla trekant med kateter a og b og la hypotenusen ha lengde sqrt(2)c slik at relasjonen som er gitt gjelder. La så denne hypotenusen også være hypotenus i en rettvinkla likebeint trekant utafor den første. Katetene her har da lengde c.
Vi har nå en firkant med sidelengder a, b, c og c. Firkanten er også syklisk siden to motstående vinkler hver er 90 grader. Ptolemaios teorem gir da uttrykket over for den ukjente diagonalen x.
Jeg klarer ikke bruke dette til å gi et elegant geometrisk resonnement for at S er konstant, så her er det fritt fram. Omkretsen til firkanten, a+b+2c, finner vi også igjen i S.
Dette var en av oppgavene fra NMC. Gikk forøvrig veldig greit uten innføring av andre variabler. Substitusjon av [tex] b^2 = 2c^2-a^2[/tex] gir 3. kvadratsetning.
[tex]\frac {(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)}[/tex]
[tex]\frac {(a+b+2c)(3)(a+c)(a-c)}{(a-b)(a+c)(b+c)}[/tex]
[tex]\frac {3(a+b+2c)(a-c)}{(a-b)(b+c)}[/tex]
Løser opp paranteser:
[tex]\frac {3(a^2+ab-2ac+ac-bc-2c^2)}{ab+ac-b^2-bc}[/tex]
Setter igjen [tex] b^2 = 2c^2-a^2 [/tex] og får
[tex]\frac {3(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}{ab+ac-2c^2+a^2-bc}[/tex]
Omstokker for syns skyld:
[tex]\frac {3(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}{(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}[/tex]
Og svaret blir da 3.
[tex]\frac {(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)}[/tex]
[tex]\frac {(a+b+2c)(3)(a+c)(a-c)}{(a-b)(a+c)(b+c)}[/tex]
[tex]\frac {3(a+b+2c)(a-c)}{(a-b)(b+c)}[/tex]
Løser opp paranteser:
[tex]\frac {3(a^2+ab-2ac+ac-bc-2c^2)}{ab+ac-b^2-bc}[/tex]
Setter igjen [tex] b^2 = 2c^2-a^2 [/tex] og får
[tex]\frac {3(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}{ab+ac-2c^2+a^2-bc}[/tex]
Omstokker for syns skyld:
[tex]\frac {3(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}{(a^2+ab-ac-bc-2c^2)}[/tex]
Og svaret blir da 3.