Et polynom [tex]P\in\mathbb{R}[x][/tex] (reelle koeffisienter) av grad større enn 0 er slik at:
[tex]P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)[/tex]
a) Vis at [tex]P[/tex] ikke har noen reelle røtter.
b) Finn alle polynomer [tex]P[/tex].
Polynom/funksjonallikning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta at P har reelle røtter.
Vi definerer [tex](t_i)_1^\infty[/tex] slik at [tex]t_{i+1}=t_i^2+t_i+1[/tex] og [tex]t_1[/tex] er en reell rot av [tex]P(x)[/tex]. Merk at [tex]t_{k+1}=t_k^2+t_k+1 > t_k[/tex].
Hvis [tex]t_k[/tex] er en reell rot av [tex]P[/tex], så er [tex]P(t_k)P(t_k+1)=P(t_k^2+t_k+1)=P(t_{k+1})=0 \Rightarrow t_{k+1}[/tex] er en reell rot. Ved induksjon så kan vi finne [tex]N[/tex] forskjellige røtter. Hvis [tex]deg(P)=n[/tex], velger vi [tex]N=n+1[/tex] og vi får en motsigelse.
Vi definerer [tex](t_i)_1^\infty[/tex] slik at [tex]t_{i+1}=t_i^2+t_i+1[/tex] og [tex]t_1[/tex] er en reell rot av [tex]P(x)[/tex]. Merk at [tex]t_{k+1}=t_k^2+t_k+1 > t_k[/tex].
Hvis [tex]t_k[/tex] er en reell rot av [tex]P[/tex], så er [tex]P(t_k)P(t_k+1)=P(t_k^2+t_k+1)=P(t_{k+1})=0 \Rightarrow t_{k+1}[/tex] er en reell rot. Ved induksjon så kan vi finne [tex]N[/tex] forskjellige røtter. Hvis [tex]deg(P)=n[/tex], velger vi [tex]N=n+1[/tex] og vi får en motsigelse.
Her er en annen løsning på a)...
Setter vi [tex]\,x\rightarrow x-1[/tex] i likningen[tex]\,P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)[/tex] får vi [tex]P(x-1)P(x)=P((x-1)^2+(x-1)+1)=P(x^2-x+1)[/tex].
Anta nå at [tex]P[/tex] har reelle røtter og at [tex]x_0[/tex] er den roten slik at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
Vi har nå at [tex]\,x_0^2+x_0+1[/tex] og [tex]\,x_0^2-x_0+1[/tex] også er røtter i [tex]P[/tex].
[tex]|x_0|=x_0 \vee \,-x_0[/tex]
[tex]|x_0|=x_0\,\, \Rightarrow \,|x_0^2+x_0+1|>|x_0|\,[/tex] noe som motsiger at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
[tex]|x_0|=-x_0\,\, \Rightarrow \,|x_0^2-x_0+1|>|x_0|\,[/tex] noe som også motsiger at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
Altså kan vi konkludere med at [tex]P[/tex] ikke har noen reelle røtter.
Setter vi [tex]\,x\rightarrow x-1[/tex] i likningen[tex]\,P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)[/tex] får vi [tex]P(x-1)P(x)=P((x-1)^2+(x-1)+1)=P(x^2-x+1)[/tex].
Anta nå at [tex]P[/tex] har reelle røtter og at [tex]x_0[/tex] er den roten slik at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
Vi har nå at [tex]\,x_0^2+x_0+1[/tex] og [tex]\,x_0^2-x_0+1[/tex] også er røtter i [tex]P[/tex].
[tex]|x_0|=x_0 \vee \,-x_0[/tex]
[tex]|x_0|=x_0\,\, \Rightarrow \,|x_0^2+x_0+1|>|x_0|\,[/tex] noe som motsiger at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
[tex]|x_0|=-x_0\,\, \Rightarrow \,|x_0^2-x_0+1|>|x_0|\,[/tex] noe som også motsiger at [tex]|x_0|[/tex] er størst.
Altså kan vi konkludere med at [tex]P[/tex] ikke har noen reelle røtter.
Det kan godt hende at jeg overser noe her, men et polynom [tex]P(x)=ax+b[/tex] har da alltid en reell rot for alle [tex]a\neq 0\,,\, a\in \mathbb{R}[/tex] og [tex]b\in\mathbb{R}[/tex]?
Det polynomet oppfyller neppe kriteriet i oppgavenespen180 skrev:Det kan godt hende at jeg overser noe her, men et polynom [tex]P(x)=ax+b[/tex] har da alltid en reell rot for alle [tex]a\neq 0\,,\, a\in \mathbb{R}[/tex] og [tex]b\in\mathbb{R}[/tex]?