matematikk.net

Dette er en litt morsom oppgave som involverer sum av diverse rekker.

Oppgitt:

[tex]\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}2[/tex]

og

[tex]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6[/tex]

og

[tex]\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

-----------------------


Finn da en tilsvarende formel for [tex]\,\,\sum_{i=1}^n i^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4 \,\,[/tex]vha formlene ovafor.

Tror ikke jeg skjønner dette. Hvorfor blir leddene

[tex]\sum_{i=1}^n i = 1+3+6+\ldots[/tex]

[tex]\sum_{i=1}^n i^2 = 1+5+14+\ldots[/tex]

[tex]\sum_{i=1}^n i^3 = 1+9+36+\ldots[/tex]

I feks:

[tex]\sum_{i=1}^n i^2 = 1+5+14+\ldots[/tex]

Er det ikke meningen at det skal bli [tex]1+4+9+\ldots[/tex]

EDIT:
Det er helt sikkert IKKE meningen at det skal bli slik jeg forespør, men hvorfor ikke? Hva er det jeg knoter med her?

MatteNoob skrev:Tror ikke jeg skjønner dette. Hvorfor blir leddene [...]

Leddene blir ikke det, men summen av alle leddene opptil [tex]n[/tex] er lik formelen på høyre side av likhetstegnet.

Emomilol skrev:Leddene blir ikke det, men summen av alle leddene opptil [tex]n[/tex] er lik formelen på høyre side av likhetstegnet.

Hehehe, okey, da blir det litt annerledes! Takker for svar, da får jeg plundre videre med denne.

Ja, stemmer Emomilol.

Illustrerer det med første og andre sumformel:

[tex]\displaystyle\sum_{i=1}^n i = 1\,+\,2\,+\,3\,+\,...\,+\,n=\frac{n(n+1)}{2}\\ \text sjekk for n=3:\\VS:\,\,1+2+3=6 \\HS:\,\,\frac{3\cdot 4}{2}={12\over 2}=6 \\OK[/tex]

------------------------

[tex]\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2\,+\,2^2\,+\,3^2\,+\,...\,+\,n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \text sjekk for n=3:\\VS:\,\,1+4+9=14 \\HS:\,\,\frac{3\cdot 4\cdot 7}{6}={84\over 6}=14 \\OK[/tex]
-------------------------

Hint: for å summere [tex]\,\,1^4+2^4+3^4+...+n^4\,\,[/tex]lønner det seg , f. eks., å studere (1 + n)[sup]5[/sup], bruke Pascal's trekant og manipulere.

Jeg fikk (6n^3 + 9n^2 + n - 1)n(n+1)/30. Har bare sjekka at den stemmer for n = 1 og n = 2 (orker ikke all manipulasjonen som må til for å teste det via induksjon).

Jeg kom frem til det ved å stille opp følgende summer:
n^3 + (n - 1)^3 + ... + 3 + 2 + 1
n^3 + (n - 1)^3 + ... + 3 + 2
n^3 + (n - 1)^3 + ... + 3
.
.
.
n^3 + (n - 1)^3
n^3

Her har vi n ganger n^3, (n-1) ganger (n-1)^3 osv. Dvs summen av alle disse summene er summen vi er ute etter. Finner den ved å ta summen av i^3 opptil n minus summen av i^3 opptil k, for alle k mellom 0 og n-1. Siden uttrykket for summen av i^3 opptil en k selv involverer et k^4 ledd, og jeg summerer over alle k fra 1 til n-1 (kan ta med n også, hvis jeg tar med en ekstra av summene opptil n), vil summen vi er ute etter også dukke opp på høyre side av likningen, men med en faktor på 1/4, så vi mokker den bare over på venstre side. Resten av summene som inngår er av typen i^3 og i^2, som vi finner via de oppgitte formlene.

Er klar over at forklaringen er vanskelig å forstå, det er vanskelig å forklare uten å skrive opp alle summene, og det orker jeg ikke. Men cluet er å sette opp de summene og innse at summen vi er ute etter er summen av summene, og at de kan evalueres via uttrykkene som er oppgitt! Ekke sikker på om svaret mitt er rett, men jeg tror nok at måten jeg har løst oppgaven på funker, hvis man bare regner rett.

Kjøper den badeball...er det deg fra realisten.com, mon tro? Snuste jo litt på profilen din, og ser du har rå kompetanse i matte. Og nå medisinstudie...imponerende!

-----------------------------
Summen av de n første ... tja hva heter det egentlig, anyone?

[tex]\displaystyle\sum_{i=1}^n i^4 = 1^4\,+\,2^4\,+\,3^4\,+\,...\,+\,n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}={n^5\over 5}\,+\,{n^4\over 2}\,+\,{n^3\over 3}\,-\,{n\over 30}[/tex]

----------------------------

Mye jobb med slike oppgaver, men hva med å vise, f. eks., vha induksjon at

[tex]\displaystyle\sum_{i=1}^n i^5 = 1^5\,+\,2^5\,+\,3^5\,+\,...\,+\,n^5=(\frac{n(n+1)}{2})^2\,\cdot \frac{2n^2+2n-1}{3}[/tex]

Har ikke vært på realisten.com før.

Har begynt å sjekke ut forumene her på matematikk.net litt i sommer, for jeg har begynt å savne matematikken veldig i det siste! Synes det er gøy med mattenøtter og sånn. Må jo gjøre litt for å vedlikeholde de gamle matteskillsa