matematikk.net

Vel, ny oppgave:

finn forholdet mellom arealet av det store kvadratet
[tex]A_1B_1C_1D_1\,\,\,[/tex] og det lille kvadratet[tex]\,\,\, UVWZ[/tex]

se bilde:

http://bildr.no/view/235224

La a være sidelengden på det store kvadratet og r være radien i sirklene. Finner at arealet av hver av de rettvinklede trekantene er A = 1/2 * ar(1 + sqrt(2)). Ved å uttrykke arealet til det store kvadratet på to måter får jeg likningen a^2 = 2ar(1 + sqrt(2)) + 4r^2. Deler på a^2 og får forholdet a/r som løsningen på en 2. gradslikning. Svaret jeg fikk da ble 1/4 * [sqrt(7 + 2sqrt(2)) - 1 - sqrt(2)], eller noe sånt!

Mener du at [tex]\,\,\frac{A(stor)}{A(liten)}=\frac{\sqrt{7+2\sqrt2}-1-\sqrt2}{4}\,<\,1\,\,\,[/tex]så er vel dette feil,

siden [tex]\,\,\frac{A(stor)}{A(liten)}\,\,> \,1[/tex]

Etter at figuren ble konstruert er arealt av det lille kvadratet beregnet til å være lik [tex](\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2[/tex] dersom arealet av den store er [tex]1[/tex]. Jeg skal legge ut konstruksjonen når jeg kommer hjem.

Oops, svaret jeg oppga var for forholdet mellom sirkelradien og sidelengden. Skal se om jeg klarer å komme frem til løsningen på oppgaven. Blir noen litt stygge rotuttrykk som kanskje kan forenkles. Hmm!

Her er konstruksjonen i farger. Dersom noen trenger forklaring så er det bare å si i fra.



Hovedsakelig oppdaget jeg at vinklene i punkt D er på henholdsvis 15, 30 og 45 grader.

Knuta skrev:Etter at figuren ble konstruert er arealt av det lille kvadratet beregnet til å være lik [tex](\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2[/tex] dersom arealet av den store er [tex]1[/tex]. Jeg skal legge ut konstruksjonen når jeg kommer hjem.

stemmer Knuta...bra.

[tex]\frac{A(stor)}{A(liten)}=\frac{1}{(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}=\frac{2}{2-\sqrt{3}}[/tex]

Hihi. Ok, jeg var helt på jordet på mitt første løsningsforslag. Jeg gjorde en geometrisk antagelse som så rett ut på figuren jeg tegna opp, men selvsagt var riv ruskende gal.

Dette var en morsom oppgave for meg, for jeg forsøkte å løse den på en måte som viste seg å bli ufattelig vrien i praksis (men virket enkel i teorien!). Det jeg gjorde var gitt en bestemt vinkel theta, finne et uttrykk for radien til den innskrevne sirkelen i en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1 og vinkel theta. Så uttrykte jeg radien til sirkelen i sentrum ved theta, og forsøkte å løse likningen som gir lik radius i sentral sirkel og sirkel innskrevet i trekant. Det som er så morsomt er at likningene man får da blir helt UFATTELIG UMULIGE å løse.

Etter å ha slitt med dette en god stund, så skjønte jeg fort at oppgaven egentlig er ganske enkel hvis man bare bruker elementær geometri. Hihi. Man trenger bare legge merke til at en vinkel blir 15 grader, og at radien i sirklene blir sqrt(2)/2 * sin(15 grader). Svaret på forholdet mellom store og lille ble hos meg 2(2 + sqrt(3)). Hvis det er feil nå, så er det i hvert fall bare en regnefeil!

Lenge siden jeg har rota meg såpass bort på en oppgave jeg kunne løst kjempefort dersom jeg hadde gidda å tenke litt mer før jeg bega meg ut på første løsningsteknikk jeg kom på!

Jeg er mektig imponert over løsningen din Knuta, *se opp til*. Jeg satt med denne oppgaven selv, men skjønte ikke bæret. Hvordan har du blitt så flink i geometri? Har du noen råd til en som vil bli bedre i geometri? Det er jo så lite i MX pensumene fra vgs.

Jeg sier geogebra. Med den kan du animere deg fram til en løsning. Det er stort sett det jeg gjør.

Her er ei annen løsning uten bruk av vinkler:

La sida i det store og lille kvadratet være 1 og x og sett BZ=WA=y. Da gjelder [tex]y^2+(x+y)^2=1[/tex]. Radien i innsirkelen til trekant AWB er x, men det gjelder også at den er halvparten av (summen av lengdene til katetene minus lengden av hypotenusen); prøv å vise dette! Hint: Finn arealet på 2 måter.

Vi får [tex]x=\frac{y+(2x+y)-1}2[/tex] som gir y=1/2. Dette kan plugges inn i Pytagorasligninga ovafor; nå har vi ei annengradsligning i den størrelsen vi ønsker å finne kvadratet på, og man ender opp med samme svar som Knuta&Co.