Gjenstand i bevegelse

[mrcreosote]

En gjenstand starter i ro og beveger seg 1 lengdeenhet på 1 tidsenhet og har etter dette også fart 0. Hvor mye kan vi med sikkerhet si at absoluttverdien av akselerasjonen må ha vært oppe i på et eller annet tidspunkt?

[Badeball]

La v(t) = 4t i [0, 1/2] og v(t) = 2 - 4(t - 1/2) i [1/2, 1]. Et legme med denne fartsfunksjonen tilfredstiller kravene i oppgaven, og absoluttverdien av akselerasjonen er 4.

Anta at det finnes en deriverbar fartsfunksjon V(t) som tilfredstiller kravene i oppgaven, hvor maksimalverdien til |A(t)| er ekte mindre enn 4. Det må finnes et punkt t0 hvor V(t0) >= v(t0), for hvis V(t) < v(t) for alle t må integralet over intervallet også bli mindre, og da tilfredstiller ikke funksjonen kravet om at traversert avstand skal være 1. Antar uten tap av generalitet at t0 <= 1/2. Nå er V(t0)/t0 >= v(t0)/t0 = 4. Middelverdisetningen sier da at det må finnes et punkt t1 i [0, 1/2] hvor |A(t1)| = |V'(t1)| = |V(t0)/t0| >= 4, som er en selvmotsigelse.

EDIT: Fikset på feil antagelse som mrcreosote påpekte.

[mrcreosote]

Funksjonen v er ikke deriverbar og a ikke kontinuerlig, men man kan alltids fikse dette ved å glatte ut spissen på grafen til v og komme vilkårlig nær 4 som er det riktige svaret.

[Badeball]

Hehe, oops. Okei, nå har jeg fiksa på det. I virkeligheten, i følge klassisk mekanikk, så skal vel fart være en deriverbar funksjon. Så jeg mener jeg kan anta det, bortsett fra for funksjonen jeg konstruerer, som ikke er deriverbar for x = 1/2. Denne funksjonen er da ikke en lovlig "real-world" fartsfunksjon, men det spiller ingen rolle for den er kun et verktøy for å vise det oppgaven ber om.