Tenk deg at Sokrates har syv skuffer, merket med dagene - mandag ... søndag. Et sett med skuffer med ett par sokker i hver skuff kaller vi en
ukekonfigurasjon.
mrcreosote skrev:
a) Hvor ofte kan Sokrates regne med å gå ei hel uke med like sokker hver dag?
Det finnes 14! måter å permutere de 14 sokkene i skuffene på, men vi må ta høyde for at sokker i par ikke kan skjelnes fra hverandre. Slik får vi altså [tex]\frac{14!}{2^7}[/tex] ulike ukekonfigurasjoner. Det finnes 7! ulike måter å putte hele par i hver skuff. Sannsynligheten for at Sokrates går med like sokker hver dag er da [tex]\frac{7! 2^7}{14!}[/tex], og han kan regne med at han har like sokker alle dagene hver [tex]\frac{14!}{7! 2^7}=135135[/tex]'te uke
mrcreosote skrev:b) Hva er sannsynligheta for at Sokrates ikke har like sokker noen dag i løpet av ei uke?
Vi skal nå skape oss en ukekonfigurasjon der det ikke finnes to like sokker i hver skuff. Ta en sokk i hvert par og kall den en "venstresokk." Vi tar først "venstresokkene," og putter dem i ulike skuffer. Vi tar deretter "høyresokkene" og putter dem i skuffene, slik at de oppfyller kravet om at ingen skuffer har to like sokker. Ved først
bare å tenke på mulige parringer av høyre- og venstresokker kan vi se på problemet slik: Vi har en mengde på 7 objekter som skal parres med objekter fra samme mengde, men på en slik måte at ingen objekter parres med seg selv.
Vi skal altså permutere 7 objekter, slik at permutasjonen ikke har noen fikspunter. Antall permutasjoner av n objekter uten fikspunter viser seg å være [tex] [\frac{n!}{e}][/tex] (der klammene er avrunding til nærmeste heltall) - bevis for det kan vi fylle på med ved en senere anledning.
Vi plasserer altså ut alle "venstresokkene" i skuffene først. Dette gir oss 7! muligheter. Deretter finner vi partnere til disse sokkene - Det finnes det [tex][\frac{7!}{e}] = 1854[/tex] muligheter for. Men ved bare å multiplisere disse, har vi overtelt antall ukekonfigurasjoner vi ønsker med en faktor på 2 - dette kan vi illustrere slik: La oss si vi har sju sokketyper S[sub]1[/sub] ... S[sub]7[/sub]
Tenk på følgende ukekonfigurajonsmulighet (tenk på skuffene som de loddrette kolonnene):
V: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
H: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
Dette er akkurat samme konfigurasjon som:
V: S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub] S[sub]1[/sub]
H: S[sub]1[/sub] S[sub]2[/sub] S[sub]3[/sub] S[sub]4[/sub] S[sub]5[/sub] S[sub]6[/sub] S[sub]7[/sub]
Dermed vil det finnes [tex]\frac{1854 \cdot 7!}{2}[/tex] ukekonfigurasjoner der ingen sokker er like. Sannsynligheten for at Sokrates ikke vil ha ett eneste skikkelig sokkepar en gitt uke er da [tex]\frac{1854\cdot 7! \cdot2^6}{14!}= \frac{103}{15015}[/tex].
mrcreosote skrev:c) Hvilken ukedag er det mest sannsynlig at Sokrates har like sokker?
Det finnes ingen ukedag som har høyere sannsynlighet for dette enn andre. Tenk deg at Sokrates har et
ultimat sokkeskap[sup]TM[/sup], som inneholder hauger av skuffegrupper med skuffer merket mandag... søndag, der hver eneste ukekonfigurasjon er representert. Anta at det finnes en dag som er mer sannsynlig enn de andre. Gå nå rundt og permuter skuffeetikettene på alle skuffene i alle skuffegruppene på samme måte, slik at skuffen med navnet på denne dagen forandres. Vi har fremdeles representert alle mulige ukekonfigurasjoner, men vil ha forandret dagen med høyest sannsynlighet for like sokker. Dette er helt klart en umulighet.
Jeg har kommet til den erkjennelse at Omo Ultra må være for sokker det H[sub]2[/sub]SO[sub]4[/sub] er for kalk. Jeg er lei av å kjøpe nye par. Nå hender det jeg lar det skure og gå med de jeg har.
Får ta siste del på morgenkvisten, tror jeg. Håper logikken i argumentasjonen over holder så langt...