Differens mellom kvadrater

[mrcreosote]

Hvilke heltall kan skrives som differensen mellom 2 kvadrater?

[Charlatan]

Alle variabler er her positive heltall

Vi vil finne alle løsninger N:

[tex]a^2-b^2=N[/tex].

Alle oddetall kan skrives som differansen mellom 2 kvadrater siden [tex](k+1)^2-k^2=2k+1[/tex].

Vi ser på likningen [tex]p_0^2-q_0^2=4^k n[/tex] for [tex]p,q[/tex] og [tex]n[/tex], som er slik at [tex]4 \not | n[/tex].
Hvis vi setter [tex]p_0=2^kp[/tex], og [tex]q_0=2^kq[/tex], får vi ved forkorting at [tex]p^2-q^2=n[/tex]. Denne likningen har løsninger for alle oddetall [tex]n[/tex].

Hvis n er partall ([tex]n=2s[/tex]), får vi likningen [tex]p^2-q^2=2s[/tex], hvor [tex]s[/tex] er oddetall. (Hvis s er partall, vil [tex]n=4l[/tex], og det motsier at [tex]4 \not | n[/tex].)

Så vi har at [tex]p^2-q^2=(p+q)(p-q)[/tex] er et partall, men ikke delelig på [tex]4[/tex]. Det vil si at kun ett av [tex]p+q[/tex] og [tex]p-q[/tex] er partall. Anta at dette er mulig.

Hvis [tex]p+q[/tex] er partall, og [tex]p-q[/tex] er oddetall, så vil [tex](p+q)+(p-q) =2p[/tex] være et oddetall. Det er klart en motsigelse.
Hvis [tex]p-q[/tex] er et oddetall, og [tex]p+q[/tex] et partall, så vil [tex](p-q)+(p-q)=2p[/tex] være et oddetall, som også er en motsigelse. Dermed har [tex]p^2-q^2=2s=4r+2[/tex] ingen løsninger.

Da har vi oppnådd at [tex]N=4r+1[/tex] eller [tex]4r+3[/tex] har løsninger, og [tex]N=4r+2[/tex] ikke har løsninger.

Vi ser på [tex]N=4r[/tex]. Hvis r er partall slik at [tex]4 \not | r[/tex], så har den ikke løsninger som vist over. Hvis [tex]r[/tex] er et oddetall har den løsninger ved å redusere på samme måte som over. Dvs [tex]N=8v+4[/tex] har løsninger, og [tex]N=8v[/tex] ikke har løsninger.

Til sammen gir [tex]N=8v+a[/tex] oss løsninger for [tex]a=1,3,4,5,7[/tex], og ikke løsninger for [tex]a=0,2,6[/tex].

Dette var ikke så oversiktlig satt opp, men håper det er riktig.

Det vil si at differansen mellom to kvadrattall kan generere alle positive heltall [tex]N[/tex], når [tex]N[/tex], [tex]N-3[/tex], og [tex]N-6[/tex] ikke er delelig på 8.

[Badeball]

Jeg fikk at alle heltall kan skrives slik, unntatt de på formen 4n + 2. Ser at (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1, altså funker det for alle oddetall. Så har vi at (n + 2)^2 - n^2 = 4(n+1) = 4k. Så langt har vi dekt alle tall unntatt de på formen 4n + 2. Anta at vi har p og q, p > q slik at: (p + q)(p - q) = 4n + 2. Siden høyre side er partall må enten p + q eller p - q være partall. Anta at p + q = 2k, da får vi at 2k(2k - 2q) = 4k(k - q) = 2(2n + 1), som funker dårlig da sidene ikke er like mod 4.

[mrcreosote]

Jeg holder med Badeballen her. Tilfellet hvor 2||n er jo grundig bevist, men man kan også se at ligninga da blir umulig mod 4.