matematikk.net

Da var det studiestart i Statene, og jeg har endelig kommet meg i gang med bachelorgraden min. Jeg har hoppet på et introkurs i mekanikk, og er nettopp ferdig med første oppgavesett. Her følger en av de mer interessante problemene derifra:

Et friksjonsfritt rør ligger i det vertikale planet, og har form som en kontinuerlig funksjon som har endepunktene i samme høyde, men er ellers vilkårlig. En lenke med uniform masse per lengdeenhet ligger inne i røret, fra ende til ende. Vis at lenken ligger i ro.

Jeg kan vise det hvis man antar at den er deriverbar nesten overalt, men ikke hvis det er en skikkelig patologisk funksjon som ikke er det. Da kan man gjøre kalkulus på den og vise at snordraget i endene blir null.

Skriv gjerne løsningen!

La y(x) være funksjonen for røret. Gitt at funksjonen er deriverbar (resultatet kan lett utvides til funksjoner som er deriverbare nesten overalt), så kan man gjøre slik:

Vi ønsker å finne snordraget i ene enden på tauget. La lambda være massetettheten til tauet. Da har vi at et massedifferensial til tauet er gitt ved:

[tex]dm = \lambda ds = \lambda \sqrt{1 + \(\frac{dy}{dx}\)^2}dx[/tex]

La theta være vinkelen tangenten til et punkt danner med x-aksen. Da har vi at [tex]\tan \theta = \frac{dy}{dx}[/tex]. Vi får da at bidraget tyngden til dm tilfører snordraget (negativt bidrag når dm ligger i oppoverbakke, da dytter den liksom bakover isteden for å dra).

[tex]dF = -g \cdot dm \cdot \sin \theta = -g \lambda \sqrt{1 + \(\frac{dy}{dx}\)^2}dx \cdot \frac{\tan \theta}{sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = -g\lambda \frac{dy}{dx} dx = -g\lambda dy[/tex]

Integrerer man dette, ser man at snordraget/snordyttingen blir avhengig av høydeforskjellen, som blir null når man tar hele tauet.