matematikk.net

Er ikke sikker på om denne er tatt før:

Bevis at hvis [tex]a,b,c[/tex] er positive reelle tall og [tex]abc=1[/tex], så er [tex]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}[/tex]

[tex]\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{(bc)^3}{b+c}[/tex]
Av Cauchys ulikhet, og så AM-GM har vi:
[tex](\sum \frac{(bc)^3}{b+c})(\sum \frac{b+c}{bc}) \geq (\sum bc)^2 \Longleftrightarrow[/tex]
[tex](\sum \frac{(bc)^3}{b+c})(2\sum \frac{1}{a}) \geq (\sum \frac{1}{a})^2 \Longleftrightarrow[/tex]
[tex]2\sum \frac{(bc)^3}{b+c} \geq \sum \frac{1}{a} \geq 3 ({\frac{1}{a} \frac{1}{b} \frac{1}{c}})^{\frac{1}{3}}=3[/tex]
Og ulikheten er vist [tex]\clubsuit[/tex]

Indeed