Ulikhet... igjenn

[Zivert]

Vis at for positive reelle tall a,b,c,d gjelder følgende ulikhet:
[tex]\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \geq 4[/tex]

[mathme]

Burde vi ikke starte med en felles nevner (eller tar jeg helt feil nå?), hva blir den her isåfall ?

[Zivert]

Det gir nok en løsning som er veeeeeldig lang (men kan godt hende man kommer fram på den måten ). Ville anbefalt andre måter å løse denne på. Fint å kunne de kalssiske ulikhetene: AM-GM, Cauchy, Chebyshev, rearangement og Jensen's (og andre).

Fellesnevner blir produktet av nevnerne i hver enkelt brøk.

[Charlatan]

Vis at for positive reelle tall a,b,c,d gjelder følgende ulikhet:
[tex]\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \geq 4[/tex]

Her kan vi sette [tex]a+b+c+d=1[/tex]. Da har vi ved bruk av HM-AM at:

[tex]\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \\ =(a+c) \left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{1-(a+b)} \right)+\left(1-\left(a+c\right) \right) \left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{1-(b+c)} \right) \\ \geq \left(a+c \right) \left(\frac{4}{(a+b)+\left(1-(a+b)\right)}\right)+\left(1-(a+c)\right) \left(\frac{4}{(b+c)+\left(1-(b+c)\right)}\right) \\ =4\left((a+c)+\left(1-(a+c)\right)\right)=4[/tex]

Hvordan får man "tilpassede" paranteser i tex?

EDIT: mye mer oversiktlig med disse parantesene

[Vektormannen]

Hvordan får man "tilpassede" paranteser i tex?

\left( og \right)

[Zivert]

Fin løsning Jarle. Her kommer løsingen min:

Av Cauchy:
[tex]\left( \frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \right) \left( (a+c)(a+b)+(b+d)(b+c)+(c+a)(c+d)+(d+b)(d+a)\right)\geq \left( (a+c)+(b+d)+(c+a)+(d+b)\right)^2[/tex]
Og fordi:
[tex](a+c)(a+b)+(b+d)(b+c)+(c+a)(c+d)+(d+b)(d+a)=(a+b+c+d)^2[/tex]
og
[tex]\left( (a+c)+(b+d)+(c+a)+(d+b)\right)^2=4(a+b+c+d)^2[/tex]
kan vi dele på [tex](a+b+c+d)^2[/tex]og vi får ulikheten vi ønsket å vise.

[Charlatan]

Har du flere ulikheter på lager?