2 spesielle ulikheter

[Zivert]

Her kommer to ulikheter som er nokså vanskelige og som har ganske spesielle løsninger (kanskje spesiellt den siste):

(1) La x og y være reelle tall i intervallet [-1,1] vis at
[tex]xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}- \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} \leq \sqrt 2[/tex]

(2) Vis at for alle positive reelle tall a, b og c er:
[tex]\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \sqrt{a^2+ac+c^2}[/tex]

Lykke til

[mrcreosote]

Den siste løste seg ved å tegne et par smarte trekanter.

[Zivert]

Bravo!

[mrcreosote]

Hvis venstresida i den første ulikheta heter f(x,y), ser vi at f(x,y) aldri er større enn f(|x|,|y|), så vi kan nøyes med å se på x og y i [0,1]. Da finnes entydige u og v i [0,pi/2] så x=cos u og y=cos v og vi ser at sqrt(1-x^2)=sin u. Vi ønsker nå å finne max av cos(u+v)+sin(u+v); det er sqrt(2), oppnådd når [tex]x=y=\cos\frac{3\pi}8=\frac12\sqrt{2+\sqrt2}[/tex].

[Zivert]

Nice! Det var akkuratt de løsningene jeg var ute etter

[mrcreosote]

Klønete formulering i stad, likhet opptrer ikke bare når x=y=...