Noen trekanter

[mrcreosote]

Gitt at du kan danne en trekant av 3 linjestykker med positiv lengde a, b og c, kan du nødvendigvis lage en trekant med linjestykker av lengde kvadratet på disse sidene? Hva med kvadratrøttene?

[BMB]

Det er i alle fall ikke alltid vi kan lage en trekant med kvadratet av sidene. For eksempel kan man lage en trekant med sider 5, 6 og 10, men ikke en trekant med sider 25, 36 og 100, fordi de to små sidene ikke "strekker til".

[mrcreosote]

Det har du helt rett i, fint!

[Charlatan]

Vel, nødvendigvis må [tex]a+b \geq c, \ a+c \geq b, \ c+b \geq a[/tex].

Men [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{c} \Leftrightarrow a+b +2\sqrt{ab} \geq c[/tex] som er sant.

Gjør det samme med de tre andre ulikhetene og du har ulikhetene [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{c}, \ \sqrt{a}+\sqrt{c} \geq \sqrt{b}, \ \sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \sqrt{a}[/tex]

Dermed tilfredsstiller lengdene [tex]\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}[/tex] kravene om å kunne være sidene i en trekant.

[mrcreosote]

Holder det, men ekte ulikheter er vel det korrekte å bruke.

[Charlatan]

klart...