Vis at dersom [tex]\max(a_1, a_2) \geq \max(b_1,b_2)[/tex] og [tex]a_1 + a_2 = b_1 + b_2[/tex], så gjelder følgende for ikke-negative x og y:
[tex]x^{b_1}y^{b_2} + x^{b_2}y^{b_1} \leq x^{a_1}y^{a_2} + x^{a_2}y^{a_1}[/tex]
Ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Dette er egentlig bare Muirhead (eller hvordan det nå enn skrives...), men den kan også fint løses med "rearangement" ulikhten:
Av symetri kan vi anta at [tex]a_1 \geq a_2[/tex] og [tex]b_1 \geq b_2[/tex]. Da har vi at [tex]a_1 \geq b_1 \geq b_2 \geq a_2[/tex] .
La [tex]S=a_1-b_1=b_2-a_2 \geq 0[/tex] og [tex]T=a_1-a_2 \geq a_1-b_1=S[/tex]
Etter å dele på [tex]x^{a_2}y^{a_2}[/tex] blir ulikheten vi skal vise evivialent med:
[tex]x^{a_1-a_2}+y^{a_1-a_2} \geq x^{b_1-a_2}y^{b_2-a_2}+x^{b_2-a_2}y^{b_1-a_2}[/tex]
[tex]x^{T-S}x^S+y^{T-S}y^S \geq x^{T-S}y^S+ x^Sy^{T-S}[/tex]
Vi kan nå anta (igjenn av symetri) at [tex]x \geq y \,\, \Rightarrow \,\, x^{T-S} \geq y^{T-S} \,\, \wedge \,\, x^{S} \geq y^{S}[/tex] (husk at [tex]T-S \geq 0[/tex])
Ulikheten følger nå av "rearangement" ulikheten".
Håper det var mulig å forstå noe av dette...
Av symetri kan vi anta at [tex]a_1 \geq a_2[/tex] og [tex]b_1 \geq b_2[/tex]. Da har vi at [tex]a_1 \geq b_1 \geq b_2 \geq a_2[/tex] .
La [tex]S=a_1-b_1=b_2-a_2 \geq 0[/tex] og [tex]T=a_1-a_2 \geq a_1-b_1=S[/tex]
Etter å dele på [tex]x^{a_2}y^{a_2}[/tex] blir ulikheten vi skal vise evivialent med:
[tex]x^{a_1-a_2}+y^{a_1-a_2} \geq x^{b_1-a_2}y^{b_2-a_2}+x^{b_2-a_2}y^{b_1-a_2}[/tex]
[tex]x^{T-S}x^S+y^{T-S}y^S \geq x^{T-S}y^S+ x^Sy^{T-S}[/tex]
Vi kan nå anta (igjenn av symetri) at [tex]x \geq y \,\, \Rightarrow \,\, x^{T-S} \geq y^{T-S} \,\, \wedge \,\, x^{S} \geq y^{S}[/tex] (husk at [tex]T-S \geq 0[/tex])
Ulikheten følger nå av "rearangement" ulikheten".
Håper det var mulig å forstå noe av dette...