Integral

[Charlatan]

La {k} være verdien av tallet k etter komma. Dvs {5.32}=0.32, og {0.5}=0.5

Finn:

[tex]\int ^t_0 \big{ x \big} \rm{d}x[/tex]

[Vektormannen]

Edit: tror ikke dette var holdbart i det hele tatt .. jeg sier pass :p

[espen180]

Ifølge dine beskrivelser vil funksjonen [tex]f(x)=\big{x\big}[/tex] se ut som en uendelig lang rekke rettvinklede, likebeinte trekanter med kateter med tilnærmet lengde 1. Hver slik vil da ha et tilnærmet areal [tex]A=\frac12[/tex]. Den integrerte av f vil da være en rekke kvartsirkler med gjennomsnittlig stigningstall [tex]\frac12[/tex]. (Tror jeg.)

Dermed hvis vi definerer [tex]\overline{\big{k\big}}=k-\big{k\big}[/tex], vil
[tex]\int_0^t \big{x\big}\rm{d}x=\frac12\overline{\big{t\big}}+\int_0^{\big{t\big}}\big{x\big}\rm{d}x[/tex]

Ikke sant?

Hvis det jeg har sagt over, stemmer, gjenstår det bare å løse integralet [tex]\int_0^a 1-\sqrt{1-x^2}\rm{d}x \, , \, 0\leq a \leq 1[/tex] for å løse oppgaven, ikke sant?

Ja ja, jeg klarer ikke å løse det integralet, så her stopper nok ferden min.

[daofeishi]

[tex]\int _0 ^t \{x \} {\rm d}x = \frac 1 2 t - \frac 1 {12} + \frac{1}{2 \pi ^2} \sum _{k = 1} ^\infty \frac{\cos (\pi k t)}{k^2}[/tex]

Ekstraoppgave: vis hvorfor

Hvis man vil ha et svar som ser mindre skremmende ut, kan man se litt på hva grafen til uttrykket ser ut som. Er funksjonen periodisk? Hva ser den ut som? Hvordan kan man finne arealet av noe slikt?

[Charlatan]

Den integrerte av f vil da være en rekke kvartsirkler med gjennomsnittlig stigningstall 1/2 . (Tror jeg.)

Det er nok ikke riktig. Tenk på hvordan kurven til den integrerte av y=x ser ut. Hvordan ser da en av disse "rettvinklede trekantene" ut? Jeg anbefaler deg imidlertidig ikke å ta utgangspunkt i formen til den antideriverte.

Det du kommer videre innpå ser mer fruktbart ut, prøv å se litt mer på disse to forskjellige komponentene sine kurver.

[Vektormannen]

Jeg kommer bare fram til at [tex]\int_0^t \{x\}dx = \frac{1}{2}(t - \{t\} + \{t\}^2)[/tex]. Det er rimelig enkelt å komme fram til hvis man ser på grafen. Arealet under hver av trekantene er som sagt 1/2, og det er [tex]t - \{t\}[/tex] slike. Den siste biten har areal [tex]\frac{1}{2}\{t\}^2[/tex]. Lagt sammen blir det [tex]\frac{1}{2}(t - \{t\} + \{t\}^2)[/tex]. Men du ønsker kanskje noe med elementære funksjoner?

[Charlatan]

Ser riktig ut det vektormannen!

Noe mer elementært får man det vel ikke, om du ikke anser gulv-funksjonen (floor function) som det.

[espen180]

Hvis vi definerer [tex]\overline{\big{k\big}}=k-\big{k\big}[/tex], vil
[tex]\int_0^t \big{x\big}\rm{d}x=\frac12\overline{\big{t\big}}+\int_0^{\big{t\big}}\big{x\big}\rm{d}x[/tex]

Vet du oppgaven er løst, men jeg syntes at denne oppgaven er såpass bra at jeg vil løse den selv også.

Så vi har
[tex]\int_0^t \big{x\big}\rm{d}x=\frac12\left(t-\big{t\big}\right)+\int_0^{\big{t\big}}\big{x\big}\rm{d}x[/tex]

Vi vet at terkantene i f(x)={x} er rettvinklede og likebeinte. Da kan vi ut ifra definisjonen på arealet av en trekant sette h={t} når vi integrerer, og fra det sette [tex]\int_0^{\big{t\big}}\big{x\big}\rm{d}x=\frac12 \cdot {\big{t\big}\cdot {\big{t\big}[/tex]

Sånn. Det ser riktig ut.

Går vi tilbake ser vi at [tex]\int_0^t \big{x\big}\rm{d}x=\frac12\overline{\big{t\big}}+\int_0^{\big{t\big}}\big{x\big}\rm{d}x=\frac12\left(t-{\big{t\big}-{\big{t\big}^2\right)[/tex]