Skalarprodukt

[espen180]

For vektorer [tex]\vec{u}=[z_1,z_2,z_3,...,z_n],\vec{v}=[w_1,w_2,w_3,...,w_n]\in C^n[/tex] er [tex]\vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{i=1}^n z_i\bar{w_i}[/tex]

For hvilke [tex]\vec{u},\vec{v}\in C^n[/tex] er [tex]\vec{u}\cdot\vec{v}\not\in R[/tex]?

Vis at svaret ditt stemmer.

[Vektormannen]

Blir det ikke [tex]\vec{u} \cdot \vec{v} \not \in R[/tex] og ikke [tex]R^n[/tex]?

[espen180]

Jo, det stemmer. Min feil.

[Vektormannen]

Hmm.. jeg prøver.

For at [tex]\vec{u} \cdot \vec{v} \not \in R[/tex], så må skalarproduktet være et komplekst tall. Da må det finnes en mengde av minst ett komponentpar [tex](z_i, w_i) \ , \ z_i \neq w_i \ , \ \text{Im}(z_i) \neq 0 \ \vee \ \text{Im}(w_i) \neq 0[/tex] slik at summen [tex]S[/tex] av produktene av komponentene i hvert par i mengden er slik at [tex]\text{Im}(\vec{u} \cdot \vec{v} - S) \neq -\text{Im}(S)[/tex]. Da vil skalaproduktet ha en imaginær del og dermed være et komplekst tall.

Noe sier meg at jeg overser et eller annet viktig. Og jeg ser heller ikke hvordan jeg skal bevise det formellt ...

[espen180]

Er redd du overser noe ja.

[Vektormannen]

Hehe, vet ikke hva jeg tenkte på her ... Blir spennende å se løsningen

[espen180]

Så på svaret ditt igjen, og det ser egentlig litt riktigere ut enn først antatt. Kan du uttrykke kravene uten Im-operatoren?

[Vektormannen]

Nei... Oppdaget at det jeg har skrevet egentlig ikke sier noe spesielt nyttig:

[tex]\text{Im}(\vec{u} \cdot \vec{v} - S) \neq -\text{Im}(S)[/tex]

[tex]\text{Im}(\vec{u} \cdot \vec{v}) - \text{Im}(S) \neq -\text{Im}(S)[/tex]

[tex]\text{Im}(\vec{u} \cdot \vec{v}) \neq 0[/tex]

Og dette er jo, latterlig nok, akkurat det jeg sier i første setning...

Det jeg har kommet med sier altså ikke noe om hvordan [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] må være, annet enn at skalarproduktet må summere opp til et tall med en imaginær del. Minst ett produkt [tex]z_i \cdot \bar{w_i}[/tex] må bli et komplekst tall. Da må [tex]z_i[/tex] og [tex]w_i[/tex] ha imaginære deler, og i tillegg må [tex]w_i \neq z_i[/tex], for hvis ikke får vi produktet [tex]z_i \cdot \bar{z_i}[/tex] som blir et reellt tall. I tillegg til disse kravene må det ikke finnes andre slike produkt i summen, som summerer opp til [tex]-z_i \cdot \bar{w_i}[/tex], for da vil disse eliminere hverandre og vi står igjen med bare reelle tall. Men jeg kan ikke bevise noe som helst her :<