Gulvfunksjonen [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er definert som det største heltallet mindre enn eller lik x. Dermed er [tex]\lfloor 4.12\rfloor = 4[/tex], [tex]\lfloor 1.9999 \rfloor = 1[/tex] og [tex] \lfloor \pi \rfloor = 3[/tex].
Vis at for alle heltallige n, har vi at [tex]\lfloor \sqrt n + \sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor[/tex]
Moro med gulvfunksjonen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Antar du mener for alle ikke-negative n.
Hvis vi ser hva som skjer med [tex]\lfloor{\sqrt{4n+2}\rfloor}[/tex] når vi gradvis øker n, så ser vi at uttrykket er det samme så lenge 4n+2 er i det samme "intervallet" mellom to perfekte kvadrater. Vi må altså bevise at [tex]\sqrt{4n+2}[/tex] og [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1}[/tex] ligger i samme "intervall" mellom to kvadrater, for da vil de to uttrykkene bli like når vi floorer dem.
Litt eksperimentering med verdier tyder på at 4n+2 aldri er et perfekt kvadrat. Dette er heller ikke vanskelig å bevise (se på kvadratiske rester modulo 4). Dette betyr at 4n+2 alltid er minst 1 større enn et perfekt kvadrat. Klarer vi å bevise at [tex]\sqrt{4n+1}\le \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \le \sqrt{4n+2}[/tex] for alle ikke-negative n, vil vi være ferdige.
[tex]\sqrt{4n+1}\le \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \ \Leftrightarrow \ 4n+1 \le 2n+1+2\sqrt{n(n+1)} \ \Leftrightarrow \ n \le \sqrt{n^2+n} \ \Leftrightarrow \ n^2 \le n^2+n \ \Leftrightarrow \ 0 \le n[/tex]
[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \le \sqrt{4n+2} \ \Leftrightarrow \ 2n+1+2\sqrt{n^2+n} \le 4n+2 \ \Leftrightarrow \ 2\sqrt{n^2+n} \le 2n+1 \ \Leftrightarrow \ 4n^2+4n \le 4n^2+4n+1 \ \Leftrightarrow \ 0 \le 1[/tex]
Begge ulikhetene vi ender opp med er sanne, og beviset er fullført. Kanskje ikke så rigorøst, men mener det burde stemme.
Hvis vi ser hva som skjer med [tex]\lfloor{\sqrt{4n+2}\rfloor}[/tex] når vi gradvis øker n, så ser vi at uttrykket er det samme så lenge 4n+2 er i det samme "intervallet" mellom to perfekte kvadrater. Vi må altså bevise at [tex]\sqrt{4n+2}[/tex] og [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1}[/tex] ligger i samme "intervall" mellom to kvadrater, for da vil de to uttrykkene bli like når vi floorer dem.
Litt eksperimentering med verdier tyder på at 4n+2 aldri er et perfekt kvadrat. Dette er heller ikke vanskelig å bevise (se på kvadratiske rester modulo 4). Dette betyr at 4n+2 alltid er minst 1 større enn et perfekt kvadrat. Klarer vi å bevise at [tex]\sqrt{4n+1}\le \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \le \sqrt{4n+2}[/tex] for alle ikke-negative n, vil vi være ferdige.
[tex]\sqrt{4n+1}\le \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \ \Leftrightarrow \ 4n+1 \le 2n+1+2\sqrt{n(n+1)} \ \Leftrightarrow \ n \le \sqrt{n^2+n} \ \Leftrightarrow \ n^2 \le n^2+n \ \Leftrightarrow \ 0 \le n[/tex]
[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \le \sqrt{4n+2} \ \Leftrightarrow \ 2n+1+2\sqrt{n^2+n} \le 4n+2 \ \Leftrightarrow \ 2\sqrt{n^2+n} \le 2n+1 \ \Leftrightarrow \ 4n^2+4n \le 4n^2+4n+1 \ \Leftrightarrow \ 0 \le 1[/tex]
Begge ulikhetene vi ender opp med er sanne, og beviset er fullført. Kanskje ikke så rigorøst, men mener det burde stemme.