Baltic Way 2008 oppg4

[Zivert]

La[tex]P(x) [/tex]er et polynom med heltallige koeffisienter (dette kan forresten skrives: [tex]P \in \mathbb{Z}[x][/tex]) og det finnes 5 forskjellige heltall som gjør at [tex]P(x)[/tex] er lik 5. Vis at det ikke finnes noe heltall s.a [tex]-6 \leq P(x) \leq 4[/tex] eller [tex] 6\leq P(x) \leq 16[/tex]

[mrcreosote]

Vi kan skrive [tex]P(x)=(x-x_1)\dots(x-x_5)Q(x)+5[/tex] der x_j er forskjellige heltall og Q(x) også er et polynom med heltallige koeffisienter. Vi må nå vise at hvis |P(y)-5|, der y er et heltall, ikke er 0, er det minst 12. Anta dette, altså at P(y) ikke er 5. Da er y ikke noen av x_j-ene og spesielt er [tex]|y-x_j|\ge1[/tex] for alle x_j. Samtidig er y-x_j ulik y-x_k når j ikke er k, så de minste verdiene |y-x_j| kan ha er 1,1,2,2,3. Dessuten kan ikke Q(y) være 0, da hadde P(y) vært 5. Følgelig er [tex]|P(y)-5|=|y-x_1|\dots|y-x_2|\cdot|Q(y)|\ge1\cdot1\cdot2\cdot2\cdot3\cdot1=12[/tex].

Tallvalget i oppgava virker noe umotivert?

[mrcreosote]

Her er en annen: La [tex]f(x),g(x)\in\mathbb{Z}[x]\setminus\mathbb R[/tex] der g(x) deler f(x). Anta at f(x)-2008 har minst 81 forskjellige heltallsrøtter. Vis at graden til g(x) er minst 6.

[Zivert]

Denne fikk vi av Jørgen Vold Rennemo på treningselieren før BW. Hvor kommer oppgaven ifra?

[daofeishi]

Denne var ikke så ille, eller er det noe jeg har oversett?

Vi ser at siden vi har en dekomposisjon over polynomer i heltall, må vi ha at g(x) er en faktor av 2008 for alle de 81 røttene til p(x)-2008. Siden 2008 = 2[sup]3[/sup]*251, har 2008 2*(3+1)*(1+1) = 16 (positive og negative) heltallige divisorer. Dette betyr at det finnes minst [tex]\lceil \frac {81}{16}\rceil = 6[/tex] ulike verdier for x som gir g(x) samme verdi. Siden g(x) er ikke-konstant, impliserer dette at g(x) har grad minst 6.

[mrcreosote]

Ser fint ut. Oppgava er fra årets IMC, det samme er den andre jeg akkurat posta.