Treghetsmoment og fraktaler

[daofeishi]

Finn treghetsmomentet til de følgende objektene:

a) Ta en rett pinne av lengde [tex]\ell[/tex], om fjern midterste tredjedel. Fjern midterste tredel fra de gjenværende stykkene, og så videre i det uendelige. La objektet du ender opp med ha masse m, og la aksen gå igjennom senteret av pinnen.

b) Ta en likesidet trekant med sidelengde [tex]\ell[/tex], del i fire kongruente trekanter og fjern "midterste trekant" - osv. La massen på objektet du ender opp med være m, og la aksen gå gjennom ortosenteret.

c) Ta et kvadrat med sidelengde [tex] \ell[/tex]. Del i 9 kongruente firkanter, fjern miderste - osv. La massen på objektet du ender opp med være m, og la aksen gå gjennom senter av kvadratet.

[Mayhassen]

Finn treghetsmomentet til de følgende objektene:

b) Ta en likesidet trekant med sidelengde [tex]\ell[/tex], del i fire kongruente trekanter og fjern "midterste trekant" - osv. La massen på objektet du ender opp med være m, og la aksen gå gjennom ortosenteret.

Gjør et forsøk, ikke helt sikker på om tankegangen min blir for enkel men:
Tenker meg en del av trekanten. Den er skalert ned med en faktor 2, og må ha en tredjedel av massen som hele trekanten. Da må den ha [tex]I_{del}=I*\frac13 \cdot (\frac{1}{2})^2=\frac{I}{12}[/tex]
For å finne treghetsmomentet til delen i forhold til trekantens senter bruker jeg steiners setning med akseavstand 1/3 av høyden til trekanten:
[tex]\frac{I}{12}+\frac m3 \cdot (\frac {sqrt3}{6}\cdot \ell)^2=\frac{I}{12}+ \frac {m\ell^2}{36}[/tex]
Da gjenstår det å summe tre av disse delene for å få det endelige treghetsmomentet:
[tex]I=3(\frac{I}{12}+ \frac {m\ell^2}{36}) \\ I=\frac{m\ell^2}{9}[/tex]

På firkanten bruker jeg samme tankegang og får [tex]\frac{3m\ell^2}{16}[/tex]