Umulig polynom

[daofeishi]

La [tex]P \in \mathbb{Z}[x][/tex]. Vis at dersom a,b,c er unike heltall, så finnes det ikke noen P slik at P(a) = b, P(b) = c og P(c) = a.

[Zivert]

Siden [tex]P \in \mathbb{Z}[x][/tex] har vi at [tex]x-y|P(x)-P(y) \,\, \forall x,y \in \mathbb{Z} \,\, x \neq y[/tex]
Vi antar at det finnes et slikt polynom (som oppgaven spør etter). Da har vi:
[tex]a-b|P(a)-P(b)=b-c[/tex]
[tex]b-c|P(b)-P(c)=c-a[/tex]
[tex]c-a|P(c)-P(a)=a-b[/tex]
Det må bety at [tex]a-b=b-c=c-a=k[/tex]
[tex]0=(a-b)+(b-c)+(c-a)=3k \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k=0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a=b=c[/tex]
Men dette er en motsigelse da a,b,c skulle være forskjellige. Altså finnes ikke et slikt polynom.

EDIT: Jeg tror egentlig det skal være [tex]|a-b|=|b-c|=|c-a|=k[/tex]. Men om f.eks:[tex]a-b=-(b-c) \,\, \Rightarrow a=c[/tex] som er en motsigelse.

[daofeishi]

Fin-fint

[FredrikM]

Forresten, hva betyr notasjonen [tex]P \in \mathbb{Z}[x][/tex]?

Og fins det andre måter å løse dette på?

[mrcreosote]

Forresten, hva betyr notasjonen [tex]P \in \mathbb{Z}[x][/tex]?

Og fins det andre måter å løse dette på?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#91082

Det aller meste kan løses på flere måter. Om det blir noe penere tviler jeg dog på.

[FredrikM]

Ok, takk - det var det jeg tenkte.

Jeg spekulerte på om denne oppgaven kunne løses ved interpolasjonsteknikker. (Altså noe sånt som: [tex]N(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0)+ f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)[/tex] eller noe lignende - husker ikke helt formelen)

Og vise at ingen av disse koeffisientene passer til kravene. Men jeg prøvde meg på det - og det ble bare rot

(mulig ideen er helt på bærtur også)