Tredjegradspolynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det reelle tredjegradspolynomet P har 3 reelle røtter. Vis at [tex](P^\prime(x))^2\ge P(x)P^{\prime\prime}(x)[/tex] for alle reelle x.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vanskelig å si noe spesielt om tredjegradspolynomer med 3 reelle røtter.
Hvis du mener du har et moteksempel, må du gjerne poste det.
Hvis du mener du har et moteksempel, må du gjerne poste det.
Vet egentlig ikke om noe moteksempel, bare skrev det ned generelt.
p(x)=ax^3 + bx^2 +cx + d
p'(x) = 3ax^2 + 2bx +c
p''(x) = 6ax + 2b
Så du vil få:
(3ax^2 + 2bx +c)^2 >= (ax^3 + bx^2 +cx + d)(6ax + 2b)
Og du vil få et konstant ledd i disse to ligningene som c^2 og 2bd. Synes det er rart at denne 2bd ikke kan være større enn c^2, siden det vil vell bli resultatet når x = 0, men regner vell med at når 2bd>c^2 så har ikke ligningen 3 reelle røtter. Derfor kommer jeg egentlig ikke noe lengre med denne oppgaven, siden jeg ikke vet s¨å mye om hvordan finne disse røttene.
p(x)=ax^3 + bx^2 +cx + d
p'(x) = 3ax^2 + 2bx +c
p''(x) = 6ax + 2b
Så du vil få:
(3ax^2 + 2bx +c)^2 >= (ax^3 + bx^2 +cx + d)(6ax + 2b)
Og du vil få et konstant ledd i disse to ligningene som c^2 og 2bd. Synes det er rart at denne 2bd ikke kan være større enn c^2, siden det vil vell bli resultatet når x = 0, men regner vell med at når 2bd>c^2 så har ikke ligningen 3 reelle røtter. Derfor kommer jeg egentlig ikke noe lengre med denne oppgaven, siden jeg ikke vet s¨å mye om hvordan finne disse røttene.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Der er du inne på noe, ja! Som du sier ville du hatt et moteksempel hvis vi hadde et tredjegradspolynom som du beskriver med 2bd>c^2, men det fins altså ikke. Hvis du er nysgjerrig, kan du finne ut hvorfor her.
Hint: Siden P har 3 reelle røtter, kan vi skrive P(x)=a(x-u)(x-v)(x-w). Hva blir P' og P'' nå?
Hint: Siden P har 3 reelle røtter, kan vi skrive P(x)=a(x-u)(x-v)(x-w). Hva blir P' og P'' nå?
Takk for den linken, får se litt på den:P
Og for den andre måten å skrive det på, så vill det hjelpe veldig, ble litt vanskelig tror jeg med min måte, men tror jeg må se på det i morgen, siden når jeg ikke kommer på å skrive det slik, er jeg nok litt for trøtt til å gjøre det.
Og for den andre måten å skrive det på, så vill det hjelpe veldig, ble litt vanskelig tror jeg med min måte, men tror jeg må se på det i morgen, siden når jeg ikke kommer på å skrive det slik, er jeg nok litt for trøtt til å gjøre det.
Får gjøre et forsøk:
[tex]P(x)=a(x-u)(x-v)(x-w) \,\, \Rightarrow \,P^\prime (x)= a \left((x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) \right)\,\, \Rightarrow [/tex]
[tex]P^{\prime \prime} (x)= 2a\left((x-u)+(x-v)+(x-w)\right)[/tex]
La nå [tex]\,x-u=A\,\,x-v=B\,\,x-w=C\,[/tex] da har vi:
[tex](P^\prime (x))^2 \geq P(x)P^{\prime \prime}(x) \,\, \Leftrightarrow \,\,(AB+BC+CA)^2\geq 2ABC(A+B+C) \,\, \Leftrightarrow \,\,(AB)^2+(BC)^2+(CA)^2 \geq 0[/tex]
Noe som opplagt er sant.
[tex]P(x)=a(x-u)(x-v)(x-w) \,\, \Rightarrow \,P^\prime (x)= a \left((x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) \right)\,\, \Rightarrow [/tex]
[tex]P^{\prime \prime} (x)= 2a\left((x-u)+(x-v)+(x-w)\right)[/tex]
La nå [tex]\,x-u=A\,\,x-v=B\,\,x-w=C\,[/tex] da har vi:
[tex](P^\prime (x))^2 \geq P(x)P^{\prime \prime}(x) \,\, \Leftrightarrow \,\,(AB+BC+CA)^2\geq 2ABC(A+B+C) \,\, \Leftrightarrow \,\,(AB)^2+(BC)^2+(CA)^2 \geq 0[/tex]
Noe som opplagt er sant.