matematikk.net

Her er en funksjon definert for positive heltall:

[tex]f(k) = k - 9 \sum _{n=1} ^\infty \lfloor \frac{k}{10^n} \rfloor[/tex]

Der [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er gulvfunksjonen (Det største heltallet som er mindre enn eller lik x.)

1: Finn ut hva denne funksjonen gjør med et tall. Beskriv dette med 5 ord eller mindre.

2: Finn et bevis for at dette stemmer.

I rot13:
1) shaxfwbara orertare gireefhzzra
2) Jobber med bevis

Observerer først at [tex]10^n-9 \cdot (10^{n-1} + 10^{n-2} ... 10^1 + 10^0) = 1[/tex] Betrakt så funksjonen. Om tallet vi begynner med er [tex]k=\sum_{i=0} ^n a_i \cdot 10^i[/tex] ser vi om vi skriver opp leddene i summen [tex]-9 \sum_{j=1} ^{\infty} \lfloor \frac k {10^j} \rfloor[/tex] at [tex]f(k)= \sum _{i=0} ^n (10^i \cdot a_i - 9 \sum _{j=0} ^{i-1} 10^j a_i)[/tex] som med den første observasjonen vår kan forenkles til [tex]\sum _{i=0} ^n a_i[/tex], eller, som Gauteamus sa, tverrsummen til tallet.

Helt korrekt. Jeg fant denne rekka da jeg plundret med et annet problem. Jeg satt sammen et uttrykk for det n'te sifferet i et gitt tall k:
[tex]S(k, n) = \lfloor \frac{k}{10^{n-1}}\rfloor - 10 \lfloor \frac{k}{10^n}\rfloor[/tex]
Og så at hvis man summer over alle n, så følger resultatet over.

Oppfølger: Finn en lukket form for
[tex]\sum_{n = 1} ^\infty \lfloor \frac{x}{b^n} \rfloor[/tex]

Der x er et positivt reellt tall og b et positivt heltall > 1.
(Du kan gjerne benytte deg av gulvfunksjonen og tverrsummer).

Om vi skriver tallet x i b-tallssystemet ser vi at det n-te sifferet blir lik [tex]\lfloor \frac x {b^{n-1}} \rfloor - b\lfloor \frac x {b^n} \rfloor[/tex]. Vi ser også at, ved å summere høyresiden fra n=1, vi må ha [tex]T_b = x-(b-1) \sum _1 ^{\infty} \lfloor \frac x {b^k} \rfloor[/tex],(vi lar 'b-talls-tverrsummen', dvs summen av sifrene i tallet skrevet i b-tallssystemet, være lik [tex]T_b[/tex]) og ved å løse denne for summen får vi at den blir lik [tex] \frac {\lfloor x \rfloor -T_b} {b-1}[/tex].

EDIT: Whoops. Påpekte feil har blitt fikset.

Flott. Skriver du [tex]\frac{\lfloor x \rfloor - T_b}{b-1}[/tex] så er vi enige Det mangler også en b-faktor i uttrykket for n'te siffer.