Avstandsøkende funksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]N[/tex] være mengden [tex]\{ 1,2,3,4 \ldots n \}[/tex]. La [tex]f : N \rightarrow N[/tex] være en funksjon slik at [tex]|f(a)-f(b)| \geq |a-b|[/tex] for alle [tex] a, b \in N[/tex]. Vis at vi faktisk har likhet i ulikheten, dvs at [tex] |f(a)-f(b)|=|a-b|[/tex] for alle [tex]a,b \in N[/tex].
glem dette
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Velg vilkårlige [tex]a_0[/tex] og [tex]b_0[/tex], og definer [tex]a_{i+1}=f(a_i)[/tex]. Siden [tex]a_k=a_0[/tex] for noen [tex]k\in N[/tex], er [tex]a_{n!}=a_0[/tex] uavhengig av [tex]a_0[/tex]. Definer tilsvarende for [tex]b_i[/tex].
Men da er [tex]|a_0-b_0|\le|f(a_0)-f(b_0)|=|a_1-b_1|\le|f(a_1)-f(b_1)|=\dots=|a_{n!-1}-b_{n!-1}|\le|f(a_{n!-1})-f(b_{n!-1})|=|a_{n!}-b_{n!}|=|a_0-b_0|[/tex]. Følgelig er [tex]|f(a_0)-f(b_0)|=|a_0-b_0|[/tex] for alle [tex]a_0,b_0\in N[/tex].
(n! kan erstattes med minste felles multiplum av 1,2,...,n.)
Men da er [tex]|a_0-b_0|\le|f(a_0)-f(b_0)|=|a_1-b_1|\le|f(a_1)-f(b_1)|=\dots=|a_{n!-1}-b_{n!-1}|\le|f(a_{n!-1})-f(b_{n!-1})|=|a_{n!}-b_{n!}|=|a_0-b_0|[/tex]. Følgelig er [tex]|f(a_0)-f(b_0)|=|a_0-b_0|[/tex] for alle [tex]a_0,b_0\in N[/tex].
(n! kan erstattes med minste felles multiplum av 1,2,...,n.)