Hei!
La [tex]S_n = X_1 + \cdots + X_n[/tex] hvor [tex]X[/tex]-ene er uavhengige og Bernoullifordelte (i.i.d.) stokastiske variable som er 1 med sannsynlighet [tex]p[/tex].
Hva er da [tex]E\{{S_n \choose t}\}[/tex] hvor [tex]E\{\cdot\}[/tex] er forventingsverdioperatoren og [tex]t[/tex] er et positivt heltall?
Forventningsverdi til tilfeldig binomialkoeffisient
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vi har at [tex]P(S_n=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/tex].
Dermed blir [tex]E=E{n\choose k}=\sum_{k=t}^n {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}{k\choose t}[/tex].
Siden (dette kan også gjøres ved et direkte argument om utplukk) [tex]{n\choose k}{k\choose t}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{t!(k-t)!}=\frac{n!}{(n-k)!(k-t)!t!}=\frac{n!}{t!(n-t)!}\cdot\frac{(n-t)!}{(n-k)!(k-t)!}={n\choose t}{n-t\choose n-k}[/tex] blir forventningsverdien
[tex]E=\sum_{k=t}^n {n\choose t}{n-t\choose n-k}p^k(1-p)^{n-k} = {n\choose t}p^t\sum_{k=t}^n{n-t\choose n-k}p^{k-t}(1-p)^{n-k}[/tex].
Dette evalueres lettere ved å innføre hjelpevariablene m=n-t og j=k-t. Da er
[tex]E={n\choose t}p^t\sum_{j=0}^m {m\choose m-j}p^j(1-p)^{m-j}={n\choose t}p^t[/tex].
Dermed blir [tex]E=E{n\choose k}=\sum_{k=t}^n {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}{k\choose t}[/tex].
Siden (dette kan også gjøres ved et direkte argument om utplukk) [tex]{n\choose k}{k\choose t}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{t!(k-t)!}=\frac{n!}{(n-k)!(k-t)!t!}=\frac{n!}{t!(n-t)!}\cdot\frac{(n-t)!}{(n-k)!(k-t)!}={n\choose t}{n-t\choose n-k}[/tex] blir forventningsverdien
[tex]E=\sum_{k=t}^n {n\choose t}{n-t\choose n-k}p^k(1-p)^{n-k} = {n\choose t}p^t\sum_{k=t}^n{n-t\choose n-k}p^{k-t}(1-p)^{n-k}[/tex].
Dette evalueres lettere ved å innføre hjelpevariablene m=n-t og j=k-t. Da er
[tex]E={n\choose t}p^t\sum_{j=0}^m {m\choose m-j}p^j(1-p)^{m-j}={n\choose t}p^t[/tex].