Isogonalkonjugasjon
Lagt inn: 14/05-2011 23:07
I dag tenkte jeg det kunne vært morsomt å lære et langt og spennende ord velegnet til å skremme/imponere folk, men også lære et morsomt resultat innen geometrien. Jeg vet ikke hvor ofte det blir nyttig, men det er i mine øyne i det minste morsomt nok til å lage en tråd om!
Teorem
La ABC være en trekant, og P et punkt i trekanten som ikke ligger på dens omsirkel. Tegn linjen [tex]a[/tex] som forlengelsen av [tex]AP[/tex], og la [tex]a*[/tex] være refleksjonen av denne linjen over vinkelhalveringslinjen fra A i trekant ABC. Definer på tilsvarende måte linjene [tex]b*[/tex] som refleksjonen av linje [tex]BP[/tex] over vinkelhalveringslinjen fra B, og [tex]c*[/tex] som refleksjonen av [tex]CP[/tex] over vinkelhalverignslinjen fra [tex]C[/tex]. Da skjærer linjene [tex]a*, b*[/tex] og [tex]c*[/tex] hverandre i et punkt Q.
Vi ser at (om vi antar teoremet) om vi gjør denne prosessen med punktet Q ender vi med punktet P, så vi sier at Q og P er isogonalkonjugerte med hensyn på trekant ABC, eventuelt bare at Q og P er isogonale dersom det er klart hvilken trekant en snakker om.
(Det skal forøvrig også sies at dette teoremet uten større vanskeligheter kan utvides slik at en tillater P og Q å ligge i det projektive planet - den isogonale av omsirkelen blir linja i uendeligheten. Det viser seg også at de eneste punktene som ender på linja i uendeligheten er de på omsirkelen, så om en synes uendelighet blir skummelt er alt en må passe seg for omsirkelen.)
De neste oppgavene hinter til et bevis for dette teoremet, men er forøvrig også interessante nok i seg selv. Eventuelt er selvfølgelig beviser som går på andre måter en denne veien også interessante.
Oppgave 1
La ABC være en trekant, og P et punkt i trekanten. La linje [tex]p*[/tex] være refleksjonen av linje [tex]AP[/tex] over vinkelhalveringslinjen i A, og [tex]X[/tex] være projeksjonen av [tex]P[/tex] på [tex]AB[/tex], og [tex]Y[/tex] være projeksjonen av [tex]P[/tex] på [tex]AC[/tex].
a) Vis at linje [tex]XY[/tex] står normalt på linje [tex]p*[/tex].
La videre X' være refleksjonen av P over AB, og Y' være refleksjonen av P over AC.
b) Vis at linje p* er midtnormalen til linjestykke X'Y'.
Oppave 2
Bevis teoremet ved hjelp av resultatet fra oppgave 1.
Oppgave 3
Finn de konjugerte av følgende punkter: ortosenter [tex]H[/tex], omsenter [tex]O[/tex], innsenter [tex]I[/tex]. Finn alle punkter som er sin egen konjugerte. (Den konjugerte av tyndepunktet [tex]G[/tex] kalles symmedianpunktet.)
Jeg har tatt beviset for dette teoremet fra et notat av Darij Grinberg.
Teorem
La ABC være en trekant, og P et punkt i trekanten som ikke ligger på dens omsirkel. Tegn linjen [tex]a[/tex] som forlengelsen av [tex]AP[/tex], og la [tex]a*[/tex] være refleksjonen av denne linjen over vinkelhalveringslinjen fra A i trekant ABC. Definer på tilsvarende måte linjene [tex]b*[/tex] som refleksjonen av linje [tex]BP[/tex] over vinkelhalveringslinjen fra B, og [tex]c*[/tex] som refleksjonen av [tex]CP[/tex] over vinkelhalverignslinjen fra [tex]C[/tex]. Da skjærer linjene [tex]a*, b*[/tex] og [tex]c*[/tex] hverandre i et punkt Q.
Vi ser at (om vi antar teoremet) om vi gjør denne prosessen med punktet Q ender vi med punktet P, så vi sier at Q og P er isogonalkonjugerte med hensyn på trekant ABC, eventuelt bare at Q og P er isogonale dersom det er klart hvilken trekant en snakker om.
(Det skal forøvrig også sies at dette teoremet uten større vanskeligheter kan utvides slik at en tillater P og Q å ligge i det projektive planet - den isogonale av omsirkelen blir linja i uendeligheten. Det viser seg også at de eneste punktene som ender på linja i uendeligheten er de på omsirkelen, så om en synes uendelighet blir skummelt er alt en må passe seg for omsirkelen.)
De neste oppgavene hinter til et bevis for dette teoremet, men er forøvrig også interessante nok i seg selv. Eventuelt er selvfølgelig beviser som går på andre måter en denne veien også interessante.
Oppgave 1
La ABC være en trekant, og P et punkt i trekanten. La linje [tex]p*[/tex] være refleksjonen av linje [tex]AP[/tex] over vinkelhalveringslinjen i A, og [tex]X[/tex] være projeksjonen av [tex]P[/tex] på [tex]AB[/tex], og [tex]Y[/tex] være projeksjonen av [tex]P[/tex] på [tex]AC[/tex].
a) Vis at linje [tex]XY[/tex] står normalt på linje [tex]p*[/tex].
La videre X' være refleksjonen av P over AB, og Y' være refleksjonen av P over AC.
b) Vis at linje p* er midtnormalen til linjestykke X'Y'.
Oppave 2
Bevis teoremet ved hjelp av resultatet fra oppgave 1.
Oppgave 3
Finn de konjugerte av følgende punkter: ortosenter [tex]H[/tex], omsenter [tex]O[/tex], innsenter [tex]I[/tex]. Finn alle punkter som er sin egen konjugerte. (Den konjugerte av tyndepunktet [tex]G[/tex] kalles symmedianpunktet.)
Jeg har tatt beviset for dette teoremet fra et notat av Darij Grinberg.