VGS: Halvsirkel og sannsynlighet

[Nebuchadnezzar]

Vi har en likesidet trekant innskrevet i en halvsirkel som vist under. Du kaster en pil mot figuren. Sannsynligheten for å treffe innenfor halvsirkelen er 100%. Hva er sannsynligheten for at du treffer innenfor det blå området?

[Thales]

Sannsynlighet for å treffe innen blå sirkel: areal av blå sirkel([tex]A_B[/tex]) areal av halvsirkel([tex]A_H[/tex]).

La oss kalle radius til største sirkel R, og den minste r, og S sentrum i den lille sirkelen. Videre, la oss kalle T punktet der den minste sirkelen tangerer med øverste trekant side, og A øverste høyre hjørne i trekanten.
Siden denne sirkelen er innskrevet i trekanten, er [tex]\widehat{TAS}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} rad[/tex].
Siden siden i trekanten er lik radiusen, så er

[tex]tan \ \widehat{TAS} = \frac{ST}{AT}=\frac{r}{\frac{1}{2}\cdot R} \ \Rightarrow r = tan \frac{\pi}{6} \cdot R \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot R\\A_H= \frac{\pi R^2}{2}\\A_B = \pi r^2 = \pi \frac{\sqrt{3}^2}{6^2}\cdot R^2=\frac{\pi}{12}\cdot R^2 \\ \Rightarrow \frac{A_B}{A_H} = \frac{\frac{\pi}{12} \cdot R^2}{ \frac{\pi R^2}{2}}=\frac{\frac{\pi}{6} \cdot R^2}{\pi R^2}=\frac{1}{6} \approx 0,167[/tex]

Altså ca 16,7% sjanse for at pilen treffer det blå området

[Nebuchadnezzar]

Helt riktig det! Men denne er vell litt lett for det ? ^^

Flott jobb.