[VGS] / 1året uni / 2 små luringer

[Nebuchadnezzar]

Går du ikke VGS eller første året på uni, har du ikkke lov å svare på disse to små artige nøttene

Vi har en funksjon [tex]f(x)=\sqrt[3]{x}[/tex]. La [tex]a[/tex] være et positivt tall. Vi har [tex]T(b)[/tex] som er tangenten til f(x) i punktet b. La [tex]A[/tex] være arealet avgrenset at [tex]T(0) \, , \, T(a)[/tex] og [tex]f(x)[/tex].

Finnes det en [tex]a[/tex] slik at [tex]A[/tex] er et heltall?

Faktoriser og forkort

Vis at

[tex]\frac{8 + 6\sqrt{3}}{\left( 4 \sqrt{3} + 9 \right)^2 }[/tex]

Kan forkortes og faktoriseres til

[tex]\frac{2}{33} \left( 3 \sqrt{3} - 4 \right)[/tex]

[Thales]

Oppgave 1: Etter lang regning kom jeg fram til til at [tex]A = \frac{20a^2-3a^{(\frac{4}{3})}}{24a^{(\frac{2}{3})}}[/tex] Kan dette stemme?

Oppgave 2: Enkel sak:
[tex]\frac{8 + 6\sqrt{3}}{\left( 4 \sqrt{3} + 9 \right)^2 } = \frac{8 + 6\sqrt{3}}{129+72\sqrt{3}} = \frac{(8 + 6\sqrt{3})(129-72\sqrt{3})}{129^2-72^2\cdot3} = \frac{-264+ 198\sqrt{3}}{1089}= \frac{-8+ 6\sqrt{3}}{33}= \frac{2}{33}(3\sqrt{3}-4)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

We have [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]

And the tangent to [tex]f(x)[/tex] at [tex]a[/tex] equals

[tex]T(a) = \frac{1}{3} \, \frac{x + 2a}{a^{2/3}}[/tex]

Now [tex]T(0)[/tex] is just a vertical line passing through origo

So the area we are looking for is the area between the [tex]y-axis,[/tex] the tangent to [tex]f(x)[/tex] and [tex]f(x)[/tex]



Was this problem really that hard, or was my wording just unclear?

And your area was wrong. You could set it up like this

[tex]A = \int_{0}^{a} T(a) \, dx - \int_{0}^{a} f(x) \, dx[/tex]

Orker ikke oversette. Du forstår tegningen. Nei, arealet ditt er ikke riktig dessverre.

[Kork]

jeg hopper over regningen og gjetter 0

[Nebuchadnezzar]

0 funker ...

LA OSS ANTA AT a ER ET POSITIVT HELTALL TALL :p

[Thales]

Orker ikke oversette. Du forstår tegningen. Nei, arealet ditt er ikke riktig dessverre.

Hmm, skriver ned det jeg kom fram til i går:

[tex]f(x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f^{\prime}(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ T(b) = f^{\prime}(b)(x-b)+f(b) = \frac{x - b}{3\sqrt[3]{b^2}}+ \sqrt[3]{b} = \frac{x + 2b}{3\sqrt[3]{b^2}}=\frac{x + 2b}{3b^{2/3}}[/tex]

EDIT: mens jeg skrev over beregningene mine fant jeg feilen

Som nevnt er jo T(0) y-axen, så A er:

[tex]A = \int_{0}^{a} T(a) \, dx - \int_{0}^{a} f(x) \, dx\\A = \frac{a(4a+a)}{6a^{2/3}}-\frac{3a^{4/3}}{4} = \frac{2(5a^2)-9a^2}{12a^{\frac{2}{3}}}=\frac{a^2}{12a^{\frac{2}{3}}}=\frac{a^{4/3}}{12}[/tex]

La oss sette [tex]a = n^3 \ \ n \in \mathbb{N}[/tex]
Da blir:
[tex]A = \frac{a^{4/3}}{12} = \frac{(n^3)^{4/3}}{12} = \frac{n^4}{12} \ \Rightarrow \ 12 | n^4 \ \Leftrightarrow \ n^4 = 12k, \ \ k \in \mathbb{N}[/tex]
La oss sette [tex]n = 6m \ \ m \in \mathbb{N}[/tex]
Da blir:
[tex]A = \frac{n^4}{12} = \frac{(6m)^4}{12} = \frac{1296m^4}{12} =108m^4 \in \mathbb{N}[/tex]
Altså er A heltall for [tex]a = (6m)^3 = 216m^3 \ \ m \in \mathbb{N}[/tex]

Da er [tex]A = 108m^4 \ \Leftrightarrow \ A = \frac{1}{2}am \ m \in \mathbb{N}[/tex]

For eksempel er A(216) = 108.

[Nebuchadnezzar]

Stemmer. Små artig oppgave, fleste jeg har vist oppgaven til har hatt problemer med denne, aner du hvorfor?

[Thales]

Stemmer. Små artig oppgave, fleste jeg har vist oppgaven til har hatt problemer med denne, aner du hvorfor?

Nope, ingen aning