matematikk.net

Obs: Jeg har ikke løst denne selv, så jeg vet ikke hvor innviklet løsningen er (men jeg vet hva svaret er), men jeg tenkte noen her sikkert får litt glede ut av den.

La $C$ være en glatt konveks kurve i planet. Vi konstruerer en ny kurve $C'$ på følgende måte. La $L$ være et kort linjestykke med midtpunkt $P$. Vi sklir $L$ rundt innsiden av $C$ slik at begge endepunktene til $L$ ligger på $C$. Da vil sporet til $P$ gi en ny kurve $C'$ som ligger inne i $C$.

Bestem arealet mellom $C$ og $C'$.

Bonusoppgave: La istedet $P$ være et vilkårlig punkt på $L$, slik at $P$ deler $L$ inn i to linjestykker $L_1$ og $L_2$. Hva blir da arealet mellom $C$ og $C'$?

La kurven C være parametrisert ved $\vec{r}(t)=r(t)\cdot (\cos t, \sin t)$ der $r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$ er en $2\pi$-periodisk kontinuerlig funksjon (og dermed Riemann-integrerbar).

Arealet innenfor $C$ blir $A_C=\frac12 \int_0^{2\pi}\vec{r}(t)^2\,dt$.

Det fins en reparametrisering av $C$, $\vec{r}(\tilde{t})$, slik at $C'$ er parametrisert ved $\vec{\tilde{r}}(t)=\frac12(\vec{r}(\tilde{t})+\vec{r}(t))$ og $|\vec{r}(\tilde{t})-\vec{r}(t))|=L$, der $L$ er lengden av linjestykket som glir.

Arealet innenfor $C'$ kan dermed skrives $A_{C'}=\frac12 \int_0^{2\pi}\vec{\tilde{r}}(t)^2\,dt=\frac18 \int_0^{2\pi}2\vec{r}(t)^2+2\vec{r}(\tilde{t})^2-L^2\,dt$.

Under antagelsen om liten L vil $\int_0^{2\pi}\vec{r}(\tilde{t})^2\,dt\approx \int_0^{2\pi}\vec{r}(t)^2\,dt$.

Da følger det at $A_C-A_{C'}=\frac{\pi L^2}{4}$.

PS: Litt i tvil på den siste antagelsen, så kom gjerne med innspill

Det er helt klart eksistensen av reparameteriseringen $\bar{t}(t)$ som utgjør hovedsteget i beviset.

Vi må løse ligningen $|\vec{r}(t) - \vec{r}(\bar{t})| = L$ for $t'$, for alle $t$. Ettersom $\vec{r}$ er antatt en glatt funksjon av $t$, når $L$ er liten nok vil denne ligningen alltid ha nøyaktig 2 løsninger, og vi må vise at disse varierer glatt med $t$. Dette kan vi kanskje gjøre ved å konstruere en rekketilnærming for $\vec{r}(t)$ (enten Taylor eller Fourier) og finne en rekketilnærming for en funksjon $\delta(t)$ slik at $\bar{t}=t+\delta(t)$.

Under antagelsen om liten L vil $\int_0^{2\pi}\vec{r}(\tilde{t})^2\,dt\approx \int_0^{2\pi}\vec{r}(t)^2\,dt$

Jeg tror at nårenn $\bar{t}$ er definert og deriverbar, så vil vi ha likhet over.