Celledeling på avveier

[Nebuchadnezzar]

Ble innspirert av en oppgave på forumet her, med en liten vri. Du er blitt ansatt som cellemaler og skal male celler som deler seg i moskuser. Hver dag får du ulike celler og disse deler seg ved ulik hastighet. Du ønsker å beregne hvor mye maling du trenger for å male alle cellene. Anta at startcellen hver dag har volum $V$. Ved hver celledeling deler alle cellene seg i $k$ deler, hvor $k$ faktoren er konstant hele dagen. Volumet til de nye cellene vil være like, med andre ord vil hver nye celle ha volum $1/k$ til modercellen. Dersom $k = 3$ får vi for eksempel $1 , 3 , 9 , 81$ celler etter $4$ celledelinger.

La $A$ betegne den totale overflaten til cellene, n antall celledelinger. Bestem en lukket formel for

$ \hspace{1cm}
A(n,k)
$

Det er lov å bruke den noe grove tilnærmingen $\sqrt[3]{ 3/(4\pi)} \approx \pi/4$.