Finn løsningene av systemet
$x_5+x_2=yx_1\\ x_1+x_3=yx_2\\x_2+x_4=yx_3\\x_3+x_5=yx_4\\x_4+x_1=yx_5$
Adderer alle likningene: $2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=y(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$. Deler opp i tilfellene $y\neq 2$ og $y=2$.
1. $y=2$ gir at $x_5-x_1=x_1-x_2=x_2-x_3=x_3-x_4=x_4-x_5=k$
Summerer vi fås $0=x_5-x_1+x_1-x_2+x_2-x_3+x_3-x_4+x_4-x_5=5k$, så $k=0$ og $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$.
2. $y\neq 2\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0$
Legger vi sammen tre av likningene på rad over, fås
$(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+x_i=y(x_{i-1}+x_i+x_{i+1})$
$(1-y)x_i=y(x_{i-1}+x_{i+1})=y^2x_i$
$(y^2+y-1)x_i=0$
To tilfeller igjen:
a) $y^2+y-1\neq 0$ gir at $x_i=0$ for alle indekser.
b) $y^2+y-1=0$.
Eliminerer $x_5=yx_1-x_2$ og bruker at $y^2=1-y$:
$x_1+x_3=yx_2\\x_2+x_4=yx_3\\x_3+yx_1=yx_4+x_2\\x_4+yx_2=-yx_1$.
Eliminerer $x_4=yx_3-x_2$, og vi står igjen kun med én likning,
$x_3=yx_2-x_1$, der vi kan velge $x_1,x_2$ fritt. La $x_1=s, x_2=t$, og løsningene blir
$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(s,t,yt-s, -ys-yt, ys-t)$, der $y$ er en løsning av $y^2+y-1=0$ og $s,t$ er valgfrie.