Julekalender - luke 3

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Den største trekanten på bildet er likebent og rettvinklet med sider 1,1 og $\sqrt{2}$. $k_1$ og $k_2$ er to likesidede trekanter som passer inn som på bildet. Finn forholdet mellom sidekanten i $k_1$ og $k_2$.

Bilde
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Skal vi sjå, kladda og førte inn samtidig...
Lagde meg en trekant med sidene [tex]\,k_2,\,\,1-k_2\,\,\text og\,\,0,5(\sqrt{2}+k_1)[/tex]
Bruker så sinussetninga ett par ganger slik at:
i)
[tex]\sin(45^o)(1-k_2)=\sin(15^o)k_2[/tex]

som gir:

[tex]k_2=\sqrt{3}-1[/tex]
og
[tex]\frac{\sin(120^o)}{0,5(\sqrt{2}+k_1)}=\frac{\sin(45^o)}{k_2}[/tex]

som gir:

[tex]k_1=2\sqrt{2}-\sqrt{6}[/tex]
altså:

[tex]\frac{k_1}{k_2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

[tex]k_{1}/k_{2}[/tex] mener eg skal være 1,1152 etter mine beregninger, og ikke 0,51763809 som uttrykket i forrige post viser. Kan eg ha oppfattet oppgaven feil her monn tro? Kan noen bekrefte den korrekte fasiten her?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

LAMBRIDA skrev:[tex]k_{1}/k_{2}[/tex] mener eg skal være 1,1152 etter mine beregninger, og ikke 0,51763809 som uttrykket i forrige post viser. Kan eg ha oppfattet oppgaven feil her monn tro? Kan noen bekrefte den korrekte fasiten her?
Du har kommet veldig nær fasiten ja! Fasiten sier $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\approx 1.115355071650410540767058374555830937945827184464585724660...$.

Janhaa må nok se over løsningen sin..
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

En løsning med litt sløv notasjon.

Se figuren til Plutarco: La de 5 punktene på hypotenusen til den store trekanten kalles $A,B,C,D,E$ (i rekkefølge fra øverst til nederst). De to siste punktene på den nederste linja i den store trekanten kaller vi $X$ og $Y$. Da blir $k_1=\triangle XBD$, og $k_2 =\triangle XCY$. Sidekantene i $k_1$ og $k_2$ kaller vi henholdsvis $s_1$ og $s_2$.

Trekantene $XAB$ og $XED$ er formlike, og regner vi forholdet mellom sidene deres på to måter får vi
\[ \frac{\sqrt{2}-s_1}{2s_1} = \frac{1-s_2}{s_2}. \]
Høyden fra den rette vinkelen i den store trekanten er også høyde i $k_1$, og med litt Pythagoras' får vi at $s_1=\sqrt{2/3}$. Setter vi det inn der det trengs i uttrykket over får vi at forholdet vi er ute etter er
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}, \]
slik som dere nevnte.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott!
Svar