matematikk.net

Den største trekanten på bildet er likebent og rettvinklet med sider 1,1 og $\sqrt{2}$. $k_1$ og $k_2$ er to likesidede trekanter som passer inn som på bildet. Finn forholdet mellom sidekanten i $k_1$ og $k_2$.

Skal vi sjå, kladda og førte inn samtidig...
Lagde meg en trekant med sidene [tex]\,k_2,\,\,1-k_2\,\,\text og\,\,0,5(\sqrt{2}+k_1)[/tex]
Bruker så sinussetninga ett par ganger slik at:
i)
[tex]\sin(45^o)(1-k_2)=\sin(15^o)k_2[/tex]

som gir:

[tex]k_2=\sqrt{3}-1[/tex]
og
[tex]\frac{\sin(120^o)}{0,5(\sqrt{2}+k_1)}=\frac{\sin(45^o)}{k_2}[/tex]

som gir:

[tex]k_1=2\sqrt{2}-\sqrt{6}[/tex]
altså:

[tex]\frac{k_1}{k_2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]k_{1}/k_{2}[/tex] mener eg skal være 1,1152 etter mine beregninger, og ikke 0,51763809 som uttrykket i forrige post viser. Kan eg ha oppfattet oppgaven feil her monn tro? Kan noen bekrefte den korrekte fasiten her?

LAMBRIDA skrev:[tex]k_{1}/k_{2}[/tex] mener eg skal være 1,1152 etter mine beregninger, og ikke 0,51763809 som uttrykket i forrige post viser. Kan eg ha oppfattet oppgaven feil her monn tro? Kan noen bekrefte den korrekte fasiten her?

Du har kommet veldig nær fasiten ja! Fasiten sier $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\approx 1.115355071650410540767058374555830937945827184464585724660...$.

Janhaa må nok se over løsningen sin..

En løsning med litt sløv notasjon.

Se figuren til Plutarco: La de 5 punktene på hypotenusen til den store trekanten kalles $A,B,C,D,E$ (i rekkefølge fra øverst til nederst). De to siste punktene på den nederste linja i den store trekanten kaller vi $X$ og $Y$. Da blir $k_1=\triangle XBD$, og $k_2 =\triangle XCY$. Sidekantene i $k_1$ og $k_2$ kaller vi henholdsvis $s_1$ og $s_2$.

Trekantene $XAB$ og $XED$ er formlike, og regner vi forholdet mellom sidene deres på to måter får vi
\[ \frac{\sqrt{2}-s_1}{2s_1} = \frac{1-s_2}{s_2}. \]
Høyden fra den rette vinkelen i den store trekanten er også høyde i $k_1$, og med litt Pythagoras' får vi at $s_1=\sqrt{2/3}$. Setter vi det inn der det trengs i uttrykket over får vi at forholdet vi er ute etter er
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}, \]
slik som dere nevnte.

Flott!