Primtall og kvadrattall

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 12:09
Sted: Trondheim

Finn alle primtall $p$ slik at $p^{2016}+p^{2017}$ er et kvadrattall.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Vi faktoriserer og får
\[ p^{2016}+p^{2017}=p^{2016}(p+1), \]
som betyr at $p+1$ er et kvadrattall; si $p+1=k^2$. Igjen kan vi faktorisere:
\[ p+1=k^2\iff p=k^2-1=(k-1)(k+1)\implies k-1=1, \]
siden $p$ er et primtall. Da må $p=3$, som er den eneste løsningen.
Svar