Julekalender - luke 14

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Et gulv er flislagt med likesidede trekanter og kvadrater, alle med sidelengder $2$. Finn avstanden mellom punktene X og Y, som begge ligger i midten av kvadratene. (se figur)

Bilde
Julenissen yo

[tex]\sqrt{27+13\sqrt{3}}[/tex] muligens?
DonaldTrump

3*sqr(10)*(sqr(3)+1)/2
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1264
Registrert: 04/10-2015 22:21

Er 8.0966 i nærheten?

Orker ikke plotte utregning på tlf om det er helt på jordet.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

Tar meg tiden til å leke meg rundt i MS Paint i dag.

Man kan først legge merke til at posisjonene til sentrene til de kvadratformede flisene er definert slik:
1.png
1.png (6.63 kiB) Vist 5603 ganger
Og videre:
2.png
2.png (34.65 kiB) Vist 5603 ganger
Man kan observere at den neste flis-gruppen er kun den forrige rotert 180 grader om senteret i en av kvadratene i den forrige flis-gruppen. (Man vet at rotasjonen er om sentret av kvadrat-flisen, fordi ingen andre punkter vil tillate kvadrat-flisen å overlappe seg selv etter en rotasjon som ikke er 360 grader. Og det gir oss naturligvis også at rotasjonen må være 180 grader (ut i fra figuren))

Dermed kan vi vite at $X, Y', X'$ ligger på samme linje (på grunn av at $X'$ er bare $X$ rotert $\pi$ om $Y$), og på samme vis vet vi at $Y', X', Y$ ligger på samme linje.
3.png
3.png (49.8 kiB) Vist 5603 ganger
Dermed vet vi også at $X, Y', X', Y'$ ligger på samme linje, og siden distansen mellom $(X,Y'), (Y',X'), (X', Y)$ er like, trenger vi kun å finne distansen mellom to av punktene, og gange med $3$.
4.png
4.png (9.55 kiB) Vist 5603 ganger
$X, Y'$ er altså midpunktene på henholdsvis $AB, CD$ i trapesen $ABCD$. Dermed vet vi at $$|XY'|=\frac{|AD|+|BC|}{2}= \frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$$

$$ |XY|=3|XY'|= 3(1+\sqrt{3}) $$

Edit: gjorde om på begrep for å unngå forvirring
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

EDIT: Sniped av mingjun, dette er en alternativ løsning.

Svaret er $\boxed{3+3\sqrt{3}}$. Se figuren for punktnavn. Vi viser først at sentrene i kvadratene ligger på samme linje: Vi vet at $PR\parallel SY$, og at $\lvert PR \rvert =\lvert SY\rvert$, så $SYRP$ er et parallellogram. Siden $Q$ er midtpunktet på $SR$ er det skjæringspunktet til diagonalene i parallellogrammet, og følgelig går også $PY$ gjennom $Q$.

Dette betyr at $XPQY$ alle ligger på samme linje, slik at
\[ \lvert XY \rvert = \lvert XP\rvert +\lvert PQ\rvert +\lvert QY\rvert=3\lvert XP\rvert . \]
Én måte å avslutte på er å bruke cosinussetningen på $\triangle XIP:$ $\angle XIP$ er lik $150^\circ$, og $\lvert XI\rvert = \sqrt{2}$ så
\[ \lvert XP\rvert = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \implies \lvert XY\rvert = \sqrt{36+18\sqrt{3}} = 3+3\sqrt{3}. \]
na.png
na.png (32.08 kiB) Vist 5593 ganger
Julenissen yo

Bilde

Hvorfor kan man ikke bare bruke cosinussetningen her?
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Julenissen yo skrev:Bilde

Hvorfor kan man ikke bare bruke cosinussetningen her?
Var det jeg og tenkte. Du vil få

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos(\theta)\Leftrightarrow c^2=(1+\sqrt{3}+2)^2+(2+\sqrt{3}+1)^2-2(1+\sqrt{3}+2)(2+\sqrt{3}+1)cos(120 \degree)=36+18\sqrt{3}[/tex]

[tex]\sqrt{36+18\sqrt{3}}=3(1+\sqrt{3})[/tex]
Sist redigert av Kay den 14/12-2016 19:28, redigert 1 gang totalt.
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1264
Registrert: 04/10-2015 22:21

Jeg brukte vektorer jeg :|

NB! Ikke verdens peneste fremstilling.
Julekalender luke 14.png
Julekalender luke 14.png (42.17 kiB) Vist 5551 ganger
Fra Y til endepunktet til vektor 1, har vi en vektor: [tex][-1,1][/tex].

Fra endepunktet til vektor 1 til endepunktet til vektor 2, har vi en vektor [tex][-2\sqrt2*\sin(15),2\sqrt2*\cos(15)][/tex].

Fra endepunktet til vektor 2 til endepunktet til vektor 3, har vi en vektor: [tex][-2,2][/tex].

Fra endepunktet til vektor 3 til endepunktet til vektor 4 har vi en vektor: [tex][-\sqrt2*\sin(15),\sqrt2*\cos(15)][/tex]

Om vi legger sammen disse vektorene og regner ut lengden av den, vil dette være avstanden fra Y til X.

[tex]\vec V_{sum}=[-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15),1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15)][/tex]

[tex]\left | \vec V_{sum} \right |=\sqrt{(-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15))^2+(1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15))^2}\approx 8.196[/tex]
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Dolandyret skrev:Jeg brukte vektorer jeg :|

NB! Ikke verdens peneste fremstilling.
Julekalender luke 14.png
Fra Y til endepunktet til vektor 1, har vi en vektor: [tex][-1,1][/tex].

Fra endepunktet til vektor 1 til endepunktet til vektor 2, har vi en vektor [tex][-2\sqrt2*\sin(15),2\sqrt2*\cos(15)][/tex].

Fra endepunktet til vektor 2 til endepunktet til vektor 3, har vi en vektor: [tex][-2,2][/tex].

Fra endepunktet til vektor 3 til endepunktet til vektor 4 har vi en vektor: [tex][-\sqrt2*\sin(15),\sqrt2*\cos(15)][/tex]

Om vi legger sammen disse vektorene og regner ut lengden av den, vil dette være avstanden fra Y til X.

[tex]\vec V_{sum}=[-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15),1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15)][/tex]

[tex]\left | \vec V_{sum} \right |=\sqrt{(-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15))^2+(1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15))^2}\approx 8.196[/tex]

Riktig er det iallefall
Svar