Julekalender - luke 15

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

a) La $N$ være et kvadrattall. Finn alle mulige rester når $N$ deles med $16$.

b) Finn alle positive heltall $m$ og $n$ som oppfyller likningen $m!+76=n^2$
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

plutarco skrev:a) La $N$ være et kvadrattall. Finn alle mulige rester når $N$ deles med $16$.

b) Finn alle positive heltall $m$ og $n$ som oppfyller likningen $m!+76=n^2$
(a)
$N$ er et kvadrattall, så $\exists\space m \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ slik at $m^2 = N.$

Fra divisjonsalgoritmen vet vi at vi kan skrive $m$ unikt som $m = 8k + r$, der $k \in\mathbb{Z}_{\geq 0},\space r \in \{0, \dots, 7\}$.

Så $\displaystyle N = m^2 = (8k+r)^2 = 64k^2 + 16kr + r^2 = 16(4k^2 + kr) + r^2$.

Dermed ser vi at $N \equiv r^2 \pmod{16}$, så vi får at
$4^2 \equiv 0 \pmod{16}$, så $r=0, 4$ gir $0$ i rest.
$7^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{16}$, så $r = 1,7$ gir $1$ i rest.
$6^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{16}$, så $r=2,6$ gir $4$ i rest.
$5^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \pmod{16}$, så $r=3,5$ gir $9$ i rest.

(b)
For $m \leq 5$ får vi følgende:

$1! + 76 = 1 + 76 = 77\space\space \text{(ikke kvadrattall)}$
$2! + 76 = 2 + 76 = 78 \space\space\text{(ikke kvadrattall)}$
$3! + 76 = 6 + 76 = 82 \space\space\text{(ikke kvadrattall)}$
$4! + 76 = 24 + 76 = 100 = 10^2$
$5! + 76 = 120 + 76 = 196 = 14^2$

Når $m\geq 6$ ser vi at $16 | m!$ ettersom $2\cdot 4\cdot 6 = 16\cdot 3 | m!$, så ettersom $76 \equiv 12 \pmod{16}$, får vi at også $m! + 76 \equiv 12 \pmod{16}$, så fra (a) kan det ikke eksistere noen flere løsninger, ettersom $n^2$ er kvadrattall.

Dermed er $(m,n) = (4,10), (5,14)$ de eneste løsningene.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

DennisChristensen skrev:
plutarco skrev:a) La $N$ være et kvadrattall. Finn alle mulige rester når $N$ deles med $16$.

b) Finn alle positive heltall $m$ og $n$ som oppfyller likningen $m!+76=n^2$
(a)
$N$ er et kvadrattall, så $\exists\space m \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ slik at $m^2 = N.$

Fra divisjonsalgoritmen vet vi at vi kan skrive $m$ unikt som $m = 8k + r$, der $k \in\mathbb{Z}_{\geq 0},\space r \in \{0, \dots, 7\}$.

Så $\displaystyle N = m^2 = (8k+r)^2 = 64k^2 + 16kr + r^2 = 16(4k^2 + kr) + r^2$.

Dermed ser vi at $N \equiv r^2 \pmod{16}$, så vi får at
$4^2 \equiv 0 \pmod{16}$, så $r=0, 4$ gir $0$ i rest.
$7^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{16}$, så $r = 1,7$ gir $1$ i rest.
$6^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{16}$, så $r=2,6$ gir $4$ i rest.
$5^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \pmod{16}$, så $r=3,5$ gir $9$ i rest.
Interessant. Så restene blir også kvadrattall?
Bilde
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Fin løsning!
Svar