matematikk.net

Finn alle polynomer $P(x)$ med reelle koeffisienter slik at $P(P(x))=(x^2+x+1)P(x)$ for alle $x$.

plutarco skrev:Finn alle polynomer $P(x)$ med reelle koeffisienter slik at $P(P(x))=(x^2+x+1)P(x)$ for alle $x$.

skrivefeil?

[tex]P(x)=x^2+x+1?[/tex]

$(x^2+x+1)^2+(x^2+x+1)+1\neq (x^2+x+1)^2$, så det funker ikke.

plutarco skrev:Finn alle polynomer $P(x)$ med reelle koeffisienter slik at $P(P(x))=(x^2+x+1)P(x)$ for alle $x$.

kan den løses ved omforming til differenslikning?

Det er mulig, men det fins en enklere måte

Hint: Se på hvilke grader polynomet kan ha

plutarco skrev:Det er mulig, men det fins en enklere måte
Hint: Se på hvilke grader polynomet kan ha

jeg får denne rekursjons-relasjonen:

[tex]a_{n+1}-a_n\cdot(a_{n-1}^2+a_{n-1}+1)=0[/tex]

så må karakteristisk likning settes opp.

Det er lett å se at $P(x) = 0$ er en løsning. Anta at $P(x)\neq 0$:
Dersom $P(x)$ er et polynom av grad $n$, så er $P(P(x))$ et polynom av grad $n^2$ og $(x^2+x+1)P(x)$ et polynom av grad $n+2$.
For at $P(x)$ skal oppfylle funksjonalligningen, så må $n^2 = n+2$, som har den positive løsningen $n = 2$. Dette gir at $P(x) = ax^2+bx+c$. Ettersom $P(P(0)) = P(0)$ er $x = 0$ et fikspunkt for $P$, og da må $c = 0$.
Da er $P(P(x)) = a(ax^2+bx)^2+b(ax^2+bx) = a^3x^4+2a^2bx^3+ab^2x^2+abx^2+b^2x = a^3x^4+2a^2bx^3+(ab^2+ab)x^2+b^2x$
og $(x^2+x+1)P(x) = (x^2+x+1)(ax^2+bx) = ax^4+bx^3+ax^3+bx^2+ax^2+bx = ax^4+(a+b)x^3+(a+b)x^2+b$.
Dette gir likningssettet
$$\begin{align*}
a^3&=a\\
2a^2b &= a+b\\
ab^2+ab &= a+b\\
b^2 &= b
\end{align*}$$
som har løsningene $(a, b) = (0, 0)$ og $(a, b) = (1, 1)$. Løsningene er dermed $P(x) = 0$ og $P(x) = x^2+x$.

Stemmer ja! Flotte greier