Julekalender - luke 22

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

En tallfølge er gitt ved at $x_0=8$ og $x_{n+1}=\frac{1+x_n}{1-x_n}$. Bestem tallet $x_{2016}$.
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

Om man løser $x_{n+1}=\frac{1+x_n}{1-x_n}$ for $x_{n} $, får man$$
x_{n}=-\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}$$
Men høyre side er jo bare $-\frac{1}{x_{n+2}} $
Dermed har vi: $$x_{n}=-\frac{1}{x_{n+2}}=-\frac{1}{-\frac {1}{x_{n+4}}}=x_{n+4}$$
Siden 0 og 2016 er det samme modulo 4, vet vi at $$x_{2016}=x_{0}=8$$
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott!
Svar