Page 1 of 1
Julekalender - luke 23
Posted: 23/12-2016 22:02
by Janhaa
Finn alle primtall som oppfyller likninga:
[tex]4^a\,-\,b^2 = c[/tex]
Re: Julekalender - luke 23
Posted: 23/12-2016 22:31
by LAMBRIDA
Eg ville gjerne prøvd meg på denne oppgaven. Eg er ikke så dreven med likninger, men menes det her med at c må være et primtall?
Re: Julekalender - luke 23
Posted: 23/12-2016 23:00
by Janhaa
LAMBRIDA wrote:Eg ville gjerne prøvd meg på denne oppgaven. Eg er ikke så dreven med likninger, men menes det her med at c må være et primtall?
ja, alle 3: a, b og c er primtall
Re: Julekalender - luke 23
Posted: 23/12-2016 23:17
by Fysikkmann97
For a,b,c < 100 oppfyller trippelen (a,b,c) = (2,3,7) likningen og at de er primtall.
Code: Select all
<?php
for($a = 1 ; $a < 100 ; $a++)
{
for($b = 1; $b < 100;$b++)
{
for($c = 1; $c < 100;$c++)
{
$d = pow(4,$a) - pow($b,2) - $c;
if($d == 0)
{
if($a == round($a,0))
{ echo 'a = ' . $a . ', b = ' . $b . ' og c = ' . $c . '<br>';
}
}
}
}
}
?>
Re: Julekalender - luke 23
Posted: 23/12-2016 23:45
by stensrud
Vi kan faktorisere venstresiden slik: $4^a-b^2=(2^a)^2-b^2=(2^a-b)(2^a+b)$. Da må $2^a-b$ være lik $1$ siden $c$ er et primtall, og $2^a+b$ må være et primtall. Men sistnevnte tall er også lik $2\cdot 2^a-1=2^{a+1}-1$, som er sammensatt for alle sammensatte $a+1$ (hvorfor?). Derfor er både $a$ og $a+1$ primtall, og følgelig er $a=2,b=3$ og $c=7$.