vgs-integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Løs følgende vgs-integral:

[tex]I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1-x^4}\,d(3x-x^3)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Janhaa skrev:Løs følgende vgs-integral:

[tex]I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1-x^4}\,d(3x-x^3)[/tex]

sant [tex]dx\neq d(3x-x^3)[/tex]


[tex]\int \frac{1}{1-x^4}d(3x-x^3)=\int \frac{1}{1-x^4}dx(3-x^2)=\int \frac{(3-x^2)}{1-x^4}dx[/tex]


[tex]\int \frac{(3-x^2)}{1-x^4}dx=\int \frac{-x^2+3}{-x^4+1}dx=\int \frac{x^2-3}{\left ( x^2+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}[/tex]


delbrøkoppspaltning:

[tex]\frac{x^2-3}{(x^2+1)(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}[/tex]

får da ;[tex]\frac{x^2-3}{(x^2+1)(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x-1}[/tex]


[tex]\int \frac{x^2-3}{x^4-1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx+2\int \frac{1}{x^2+1}dx[/tex]

* [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\ln\left | x+1 \right |+C[/tex]

* [tex]-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx=-\frac{1}{2}\ln \left | x-1 \right |+C[/tex]

* [tex]2\int \frac{1}{x^2+1}dx=?[/tex]

Har ikke sett dette integralet før :oops:
massive fail..
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Drezky skrev:
Janhaa skrev:Løs følgende vgs-integral:

[tex]I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1-x^4}\,d(3x-x^3)[/tex]
sant [tex]dx\neq d(3x-x^3)[/tex]
Du må la $u=3x-x^3$. Fra kjerneregelen blir dermed $d(3x-x^3)=du=\frac{du}{dx}dx=(3-3x^2)dx$
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Drezky skrev:
Janhaa skrev:Løs følgende vgs-integral:
[tex]I=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1-x^4}\,d(3x-x^3)[/tex]
sant [tex]dx\neq d(3x-x^3)[/tex]
[tex]\int \frac{1}{1-x^4}d(3x-x^3)=\int \frac{1}{1-x^4}dx(3-x^2)=\int \frac{(3-x^2)}{1-x^4}dx[/tex]
[tex]\int \frac{(3-x^2)}{1-x^4}dx=\int \frac{-x^2+3}{-x^4+1}dx=\int \frac{x^2-3}{\left ( x^2+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}[/tex]
* [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\ln\left | x+1 \right |+C[/tex]
* [tex]-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx=-\frac{1}{2}\ln \left | x-1 \right |+C[/tex]
* [tex]2\int \frac{1}{x^2+1}dx=?[/tex]
Har ikke sett dette integralet før :oops:
massive fail..
Litt annerledes integrasjon ja...den blir noe sånt, med info fra plutarco:

[tex]I=3\int_0^{\sqrt{3}}\frac{(1-x^2)\,dx}{(1-x^2)(1+x^2)}=3(\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0)) = \pi[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar