Problem fra Zeitz - Art and craft of problem solving

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Følgende er en generalisering av et problem fra kapittel 2.4 i boka til Zeitz:

Et insekt beveger seg i planet, fra punkt (a,b) i første kvadrant til et punkt (c,d) i tredje kvadrant. Insektet holder farten 2 m/s overalt unntatt i andre kvadrant, der farten er 1 m/s. Finn veien mellom punktene som tar kortest tid.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Hmm jeg tenker som følger: La $A$ være punktet i første kvadrant, $B$ den i tredje, og la $O$ være origo. Hvis linjestykket $AB$ ikke går gjennom andre kvadrant, så er det denne veien som er raskest. Anta derimot at den går gjennom andre kvadrant. Da vil veien satt sammen av linjestykket $AO$ og deretter $OB$ være raskere enn alle veier gjennom fjerde kvadrant, så enten går veien gjennom andre kvadrant, eller så går den bare via origo i dette tilfellet.

Si at den optimale veien krysser $y$-aksen i $P$ og $x$-aksen i $Q$ (trivielt er en slik vei en komposisjon kun av rette linjestykker), slik at $PQ$ ligger i andre kvadrant. Da danner $P,Q$ og $O$ en rettvinklet trekant, og hvis vi sier at insektet egentlig flyr distansen $PQ$ i andre kvadrant, så kan vi anta at insektet har konstant fart hele veien. Men siden $2PQ > OP +OQ$ lønner det seg faktisk å fly langs koordinataksene istedenfor å tre inn i andre kvadrant! Derfor er veien via origo som beskrevet ovenfor den raskeste i dette tilfellet.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Fin løsning.

Hvis vi nå lar $r$ være farten til insektet i andre kvadrant. Hva er største verdi av $r$ slik at hurtigste vei for insektet stadig er via origo?
Svar