søndags-integral for vgs.

[Janhaa]

Bestem:

[tex]\large I=\int_0^{e^e} \frac{\cos(\ln(x))}{x}\,dx[/tex]

[skf95]

Neppe tiltenkt løsning, men håper det er rett i hvert fall
Bruker at [tex]\cos z = \frac{1}{2} \left ( e^{iz} + e^{-iz} \right )[/tex] for å omskrive [tex]\frac{ \cos {( \ln {x})}}{x} = \frac{1}{2x} \left ( e^{i ( \ln {x})} + e^{-i ( \ln {x})} \right ) = \frac{1}{2x} \left ( x^i + x^{-i} \right ) = \frac{ x^{i-1}}{2} + \frac{ x^{-i-1}}{2}[/tex]
og dermed ved enkel antiderivasjon
[tex]I = \left[ \frac{x^i}{2i} + \frac{x^{-i}}{-2i} \right ]^{e^e} _0 = \frac{e^{ie}}{2i} - \frac{e^{-ie}}{2i} - \left ( 0-0 \right)[/tex]
som gjenkjennes som sinusfunksjonen på eksponentialform. Altså [tex]I = \sin(x)[/tex].

[Janhaa]

Neppe tiltenkt løsning, men håper det er rett i hvert fall
Bruker at [tex]\cos z = \frac{1}{2} \left ( e^{iz} + e^{-iz} \right )[/tex] for å omskrive [tex]\frac{ \cos {( \ln {x})}}{x} = \frac{1}{2x} \left ( e^{i ( \ln {x})} + e^{-i ( \ln {x})} \right ) = \frac{1}{2x} \left ( x^i + x^{-i} \right ) = \frac{ x^{i-1}}{2} + \frac{ x^{-i-1}}{2}[/tex]
og dermed ved enkel antiderivasjon
[tex]I = \left[ \frac{x^i}{2i} + \frac{x^{-i}}{-2i} \right ]^{e^e} _0 = \frac{e^{ie}}{2i} - \frac{e^{-ie}}{2i} - \left ( 0-0 \right)[/tex]
som gjenkjennes som sinusfunksjonen på eksponentialform. Altså [tex]I = \sin(x)[/tex].

Artig løsning, og sjølsagt korrekt der:

[tex]I = \left[ \frac{x^i}{2i} + \frac{x^{-i}}{-2i} \right ]^{e^e} _0 = \frac{e^{ie}}{2i} - \frac{e^{-ie}}{2i} - \left ( 0-0 \right)=\sin(e)[/tex]

ellers er det vel enklere med substitusjonen:

[tex]u=\ln(x)[/tex]