Putnam integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2}}}\, dx$
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 12:09
Sted: Trondheim

Generelt har man at $\int_a^b f(x)~\mathrm{d}x = \int_a^b f(a+b-x)~\mathrm{d}x$.
Dette gir $I = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\tan{x})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\tan{(\pi/2 - x)})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x$
Her er $\tan(\pi/2-x) = \dfrac{\sin(\pi/2-x)}{\cos(\pi/2-x)} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \cot{x}$, slik at $I = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\cot{x})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}\dfrac{(\tan(x))^\sqrt{2}}{1+(\tan(x))^\sqrt{2}}\mathrm{d}x$
og $2I = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\tan{x})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x+\int_0^{\pi/2}\dfrac{(\tan(x))^\sqrt{2}}{1+(\tan(x))^\sqrt{2}}\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1+(\tan(x))^\sqrt{2}}{1+(\tan(x))^\sqrt{2}}\mathrm{d}x = \pi/2\Longrightarrow I = \pi/4$
Svar