likningssystem 2

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

likningssystem 2

Innlegg Janhaa » 04/02-2017 13:30

[tex]\cot(x) + \tan(y)=2[/tex]

[tex]\sin(x)\cdot \cos(y)=\frac{1}{4}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7346
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: likningssystem 2

Innlegg Solar Plexsus » 28/02-2017 18:46

Vi har gitt likningssystemet

$(1) \;\; \cot x + \tan y= 2$,

$(2) \;\; {\textstyle \sin x \cdot \cos y = \frac{1}{4}}$.

Av definisjonene av cotangens og tangens følger at likning (1) er ekvivalent med

$(3) \;\; {\textstyle \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin y}{\cos y} = 2}$.

Ved å gange begge sider av likning (3) med $\sin x \cdot \cos y$, blir resultatet

$\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = 2 \sin x \cdot \cos y$,

som kombinert med likning (2) gir

$(4) \;\; {\textstyle \cos(x - y) = \frac{1}{2}}$.

Av likning (4) følger at

$(5) \;\; {\textstyle x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2k_1\pi \; (k_1 \in \mathbb{Z}})$,

Ved å kombinere ligningene (2) og (5) finner vi at

$(6) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y \pm \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.

La oss betrakte funksjonen ${\textstyle f(y) = \cos y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}}$. Derivasjon gir

${\textstyle f'(y) = -\sin y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) + \cos y \cdot \cos(y - \frac{\pi}{3}) = \cos(y + (y - \frac{\pi}{3})) = \cos(2y - \frac{\pi}{3})}$.

Dermed får vi at

${\textstyle f(y) \leq f(\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4} = (\sin(\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2})(\sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{2})}$.

Dette kombinert med det faktum at ${\textstyle 0 < \sin(\frac{\pi}{12}) < \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}}$ gir $f(y) < 0$ for alle reelle tall $y$. Altså har $f$ ingen reelle nullpunkt, som i henhold til (6) betyr at

$(7) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.

Ved å anvende den trigonometriske formelen $\sin(u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$, får vi at likning (7) kan uttrykkes på formen

$(8) \;\; 2 \cos y(\sin y + \sqrt{3}\cos y) = 1$.

Herav følger at

$1 = 2 \cos y \cdot \sin y + 2\sqrt{3} \cos^2 y = \sin 2y + \sqrt{3}(1 + \cos 2y)$,

som gir

$\sin 2y + \sqrt{3} \cos 2y = 1 - \sqrt{3}$,

i.e.

$(9) \;\; {\textstyle \sin(2y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$.

Ergo blir

${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 2k_2\pi}$

eller

${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = -\sin^{-1}(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + \pi + 2k_2\pi}$

der $k_2 \in \mathbb{Z}$, som kombinert med identiteten ${\textstyle x = y + \frac{\pi}{3}} + 2k_1\pi$ gir oss følgende løsninger av likningssettet (1)-(2):

${\textstyle (x,y) = (\frac{\pi}{6} + \theta + k_3\pi, -\frac{\pi}{6} + \theta + k_2\pi), \: (\frac{2\pi}{3} - \theta + k_3\pi, \frac{\pi}{3} - \theta + k_2\pi)}$,

der $k_3 = 2k_1 + k_2$ og ${\textstyle \theta = \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1641
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: likningssystem 2

Innlegg Janhaa » 28/02-2017 19:36

Flott arbeid og løsning.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7346
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 15 gjester