Algebra

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn $3x^2y^2$ dersom $x,y$ er heltall slik at $y^2+3x^2y^2=30x^2+517$.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Løsning:
[+] Skjult tekst
Ekvivalent med $y^2=\frac{30x^2+517}{3x^2+1}=10+\frac{507}{3x^2+1}$, så $3x^2+1\mid 507=3\cdot13^2$. Siden $3\nmid 3x^2+1$ må $3x^2+1$ være lik $1,13$ eller $169$, hvor kun $x=0$ eller $x=\pm 2$ er mulig. $x=0$ gir ingen løsninger, mens $x=\pm 2$ gir løsninger med $y^2=49$, så i alle tilfeller er $3x^2y^2=3\cdot 4\cdot 49=588$.
To oppfølgere:
1) Løs likningssystemet
\[\begin{cases} x+y+z=1\\ x^5+y^5+z^5=1\end{cases}\]
hvor $x,y$ og $z$ er reelle tall.

2) La $P$ være et polynom med reelle koeffisienter. Vis at hvis $P(k)$ ikke er heltallig for et heltall $k$, så eksisterer det uendelig mange heltall $m$ slik at $P(m)$ ikke er et heltall.
Svar