Deriverbar funksjon
Lagt inn: 19/03-2017 21:33
La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.
Vet det er en funksjonallikning, men vet ikke helt hvordan jeg forklarer meg formelt.plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.
Deriverer med hensyn på $y$: $$f'(x+y) = f(x)f'(y).$$ Setter vi nå $y=0$ får vi at $$f'(x) = f'(0)f(x) = 3f(x),$$ så $$f(x) = Ae^{3x},\text{ }\text{ }A \in \mathbb{R}.$$ Vi vet at $f'(0) = 3$, så $A = 1. \therefore f(x) = e^{3x}$.plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.