matematikk.net

La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.

plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.

Vet det er en funksjonallikning, men vet ikke helt hvordan jeg forklarer meg formelt.
Men, hvis vi antar:

[tex]f(x) = f(y)[/tex]
og at
formen på f(x) er:
[tex]f(x)=e^{ax}[/tex]
[tex]a\in \mathbb{Z}[/tex]
der
[tex]f ' (x)=ae^{ax}[/tex]
slik at:
[tex]f ' (0) = a =3[/tex]
så:
[tex]f(x)=e^{3x}[/tex]
altså:
[tex]f(x+x)=f(2x)=e^{3*(2x)}=e^{6x}[/tex]
og
[tex]f(x)f(x)=e^{3x}e^{3x}=e^{6x}=(f(x))^2=f(2x)[/tex]

Du har kommet frem til riktig løsning, men beviset for at dette er den eneste løsningen mangler jo her.

Tips: problemet kan omformes fra en funksjonallikning til en diff.likning.

plutarco skrev:La $f(x)$ være en deriverbar funksjon som tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}$. Dersom $f'(0)=3$, finn $f(x)$.

Deriverer med hensyn på $y$: $$f'(x+y) = f(x)f'(y).$$ Setter vi nå $y=0$ får vi at $$f'(x) = f'(0)f(x) = 3f(x),$$ så $$f(x) = Ae^{3x},\text{ }\text{ }A \in \mathbb{R}.$$ Vi vet at $f'(0) = 3$, så $A = 1. \therefore f(x) = e^{3x}$.

Jepp, løste den nøyaktig på samme måte