plutarco skrev:Anta at $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ og $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ er ikke-konstante, deriverbare funksjoner. Anta videre at $f$ og $g$ tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$ og $g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)$ for alle $x,y$.
Dersom $f'(0)=0$, vis at $f(x)^2+g(x)^2=1$ for alle $x$.
$f$ og $g$ er deriverbare, så vi kan derivere likningene implisitt med hensyn på $x$ for å få at $$f'(x+y) = f'(x)f(y) - g'(x)g(y)$$ og at $$g'(x+y) = f'(x)g(y) + g'(x)f(y).$$
Setter vi inn $x=0$ får vi at for alle $y$, $$f'(y) = f'(0)f(y) - g'(0)g(y) = -g'(0)g(y)$$ og at $$g'(y) = f'(0)g(y) + g'(0)f(y) = g'(0)f(y).$$
Dermed ser vi at $$\frac{d}{dx}\left(f(x)^2 + g(x)^2 - 1\right) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) = -2g'(0)f(x)g(x) + g'(0)f(x)g(x) = 0,$$ så vi vet at $f(x)^2 + g(x)^2 - 1$ er konstant.
Lemma: $f(0) = 1$ og $g(0) = 0$.
Bevis: Vi setter $x=y=0$ og ser at $f(0) = f(0)^2 - g(0)^2$ og $g(0) = 2f(0)g(0)$. Hvis $f(0) = 0$ sier likning 2 at $g(0)=0$, og hvis $f(0) \neq 0$ sier den at $g(0) = 2g(0)$, så vi konkluderer med at $g(0) = 0$. Dermed sier likning 1 at $f(0) = f(0)^2$, så $f(0) = 0$ eller $f(0) = 1$.
Derimot om vi nå setter $y=0$ sier likning 1 at $f(x) = f(x)f(0) - 0 = f(x)f(0)$, så vi må ha $f(0) = 1.\text{ }\text{ } \checkmark$
Dermed har vi at $f(0)^2 + g(0)^2 - 1 = 0$, så den konstante verdien for $f(x)^2 + g(x)^2 - 1$ må være $0$. Dermed er $f(x)^2 + g(x)^2 = 1$ for alle $x$.
