matematikk.net

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $x\cdot f(\frac{x}{2})-f(\frac{2}{x})=1$ for alle $x$.

plutarco skrev:Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $x\cdot f(\frac{x}{2})-f(\frac{2}{x})=1$ for alle $x$.

Skriv $y = 2x$ for å få at $$2yf(y) - f(\frac1y) = 1\text{ }\text{ for alle }y\neq 0.$$
Dermed må vi også ha at $$\frac2yf(\frac1y) - f(y) = 1.$$ Vi kan nå eliminere $f(\frac1y)$:

$$\frac2y\left[2yf(y) - 1\right] - f(y) = 1$$ $$4f(y) - \frac2y - f(y) = 1$$ $$f(y) = \frac13\left(1 + \frac2y\right) = \frac{y + 2}{3y}.$$

Slik spørsmålet er stilt får vi altså ingen løsninger $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, men løsningen $$f(x) = \frac{x+2}{3x}$$ vil være gyldig om vi leter etter $f: \mathbb{R} - \{0\} \rightarrow \mathbb{R}.$

Oppgaven er fra "2002 Flanders math olympiad" https://artofproblemsolving.com/communi ... h_olympiad .

Stusset litt over formuleringen selv. Det gir jo ikke mening at likningen skal gjelde for alle x siden x=0 gjør at f(1/0) er evaluert utenfor domenet til f. Kanskje det er en feil i oppgaveteksten og at det skal stå $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to\mathbb{R}$ ?

plutarco skrev:Oppgaven er fra "2002 Flanders math olympiad" https://artofproblemsolving.com/communi ... h_olympiad .

Stusset litt over formuleringen selv. Det gir jo ikke mening at likningen skal gjelde for alle x siden x=0 gjør at f(1/0) er evaluert utenfor domenet til f. Kanskje det er en feil i oppgaveteksten og at det skal stå $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to\mathbb{R}$ ?

Ser nå i ettertid at det jo ikke er noe problem at definisjonsmengden til $f$ er $\mathbb{R}$. Om det er noen feil i oppgaveteksten må det isåfall være at det ikke er presisert at identiteten gjelder for alle $x \neq 0$. Tolker vi oppgaven slik får vi uendelig mange løsninger $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, gitt ved $$\begin{align*}
f(x) &=
\begin{cases}
\frac{x+2}{3x} & \text{hvis } x\neq 0,\\
k & \text{hvis } x = 0,
\end{cases}\\
\end{align*}$$ for alle $k\in\mathbb{R}.$

DennisChristensen skrev: Om det er noen feil i oppgaveteksten må det isåfall være at det ikke er presisert at identiteten gjelder for alle $x \neq 0$.

Helt enig