matematikk.net

Finn alle positive heltallstripler $(a,b,c)$ som tilfredsstiller $(1+\frac1a)(1+\frac1b)(1+\frac1c)=2$

Viss eg ser dette rett, så mener eg å ha funnet noen heltalls-tripler for a,b og c.

Løsning 1: a = 2, b = 4, c = 15
Løsning 2: a = 2, b = 5, c = 9
Løsning 3: a = 2, b = 6, c = 7
Løsning 4: a = 3, b = 4, c = 5

Hvor mange det er i alt blir en interessant fortsettelse.

LAMBRIDA skrev:Viss eg ser dette rett, så mener eg å ha funnet noen heltalls-tripler for a,b og c.

Løsning 1: a = 2, b = 4, c = 15
Løsning 2: a = 2, b = 5, c = 9
Løsning 3: a = 2, b = 6, c = 7
Løsning 4: a = 3, b = 4, c = 5

Hvor mange det er i alt blir en interessant fortsettelse.

Bra! Du har funnet alle unntatt én. Finner du den siste? (Og man kan selvsagt omrokkere på verdiene pga. symmetrien mellom a,b,c her)

Den eneste løsningen eg nå finner er når a = 3, b = 3 og c = 8.

LAMBRIDA skrev:Den eneste løsningen eg nå finner er når a = 3, b = 3 og c = 8.

Riktig det

Hvordan er fremgangsmåten? Det hadde vært veldig fint om noen ville dele den

Her kommer en sketch av min løsning.

Vi slår parantesene sammen først:

\[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\]

Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, der $\bar{a}\geq a$ osv.. . Altså kan vi finne en viss øvre grense for hva $(a,b,c)$ kan være.

Deretter er kan man legge merke til at hvis vi setter $a=b=c=4$, så gjelder ulikheten over. Dette impliserer at en av tallene $a,b,c$ må være enten $1,2,3$. Herfra kan man bare sette inn et tall og gjøre casework for å se hva som fungerer og ikke fungerer.


EDIT: skulle ha streng ulikhet i stedet for større enn eller er lik på linje 4

Supert, tusen takk.

mingjun skrev:Her kommer en sketch av min løsning.

Vi slår parantesene sammen først:

\[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\]

Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, der $\bar{a}\geq a$ osv.. . Altså kan vi finne en viss øvre grense for hva $(a,b,c)$ kan være.

Deretter er kan man legge merke til at hvis vi setter $a=b=c=4$, så gjelder ulikheten over. Dette impliserer at en av tallene $a,b,c$ må være enten $1,2,3$. Herfra kan man bare sette inn et tall og gjøre casework for å se hva som fungerer og ikke fungerer.


EDIT: skulle ha streng ulikhet i stedet for større enn eller er lik på linje 4

Flott! Løste den essensielt på samme vis: Vi skriver om til $(1+a)(1+b)(1+c)=(\sqrt[3]{2}a)(\sqrt[3]{2}b)(\sqrt[3]{2}c)$. Ser at $(1+n)<\sqrt[3]{2}n$ når $n>3$. Anta WLOG at $a\geq b\geq c$. Da gir ulikheten at $1\leq c\leq 3$.