matematikk.net

La $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ være kontinuerlig, med $f(x)\cdot f(f(x))=1\, \forall x\in\mathbb{R}$. Dersom $f(1000)=999$, finn $f(500)$.

Vi bruker den andre betingelsen til å få $f(1000)f(f(1000))=1\iff f(999)=\frac{1}{999}$. Siden $999,\frac{1}{999}\in \operatorname{Im} f$ og $f$ er kontinuerlig så er også $500 \in \operatorname{Im} f$. Men
\[ f(x)f(f(x))=1\forall x\in \mathbb{R}\iff f(y)=\frac1y\forall y\in \operatorname{Im} f, \]
så $f(500)=\frac{1}{500}$.

Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.

stensrud skrev:Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.

Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.

mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.

Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.

stensrud skrev:

mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.

Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.

Men ifølge oppgaven er f(1000)=999

Nå synes jeg vi er litt for slem mot stenstrud her.